Stammfunktion - Lösung
Zur Übersichtlichkeit wurde die Integrationskonstante \(C=0\) gesetzt.
| Aufgabe | Gegeben | Gesucht (Ergebnis) |
|---|---|---|
| a) | \(f(x) = x^4 + 5x^3 + 1\) | \(F(x) = \frac{1}{5}x^5 + \frac{5}{4}x^4 + x\) |
| b) | \(f(x) = 3x^2 + \frac{1}{x^2}\) | \(F(x) = x^3 - \frac{1}{x}\) |
| c) | \(F(x) = \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}}\) | \(f(x) = \frac{9}{4}x^{\frac{1}{2}}\) (bzw. \(\frac{9}{4}\sqrt{x}\)) |
| d) | \(f(x) = \sqrt{x^3} + \sqrt[3]{x^2}\) | \(F(x) = \frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}} + \frac{3}{5}x^{\frac{5}{3}}\) |
| e) | \(f(x) = 2 \cos(2x)\) | \(F(x) = \sin(2x)\) |
| f) | \(F(x) = (3x^2 + x)^2\) | \(f(x) = (12x + 2)(3x^2 + x)\) |
| g) | \(f(x) = (2x + 2)^4\) | \(F(x) = \frac{1}{10}(2x + 2)^5\) |
| h) | \(F(t) = \sin(3t + 2)\) | \(f(t) = 3 \cos(3t + 2)\) |
Kurze Erläuterungen:
- Aufgabe d): \(\sqrt{x^3} = x^{3/2}\). Aufgeleitet: \(\frac{1}{3/2 + 1}x^{5/2} = \frac{2}{5}x^{5/2}\).
- Aufgabe f): Hier wurde \(F(x)\) abgeleitet (\(f = F'\)).
Mit der Kettenregel: \(2 \cdot (3x^2 + x)^1 \cdot (6x + 1)\).
Zusammengefasst: \((12x + 2)(3x^2 + x)\). - Aufgabe g): Aufleiten mit linearer Substitution.
Äußere Aufleitung \(\frac{1}{5}(\dots)^5\), dann teilen durch die innere Ableitung \(2\). Also \(\frac{1}{5 \cdot 2} = \frac{1}{10}\).