Grafisches Aufleiten - Lösung
a) Analyse der markanten Punkte
Die Stammfunktion \(F(x)\) lässt sich durch den Zusammenhang \(F'(x) = f(x)\) punktweise skizzieren:
| Stelle / Intervall | Eigenschaft von \(f\) | Konsequenz für \(F\) |
|---|---|---|
| \(x = 0\) | Nullstelle (VZW von \(+\) nach \(-\)) | Hochpunkt bei \(y=1\) wegen \(P(0\mid 1)\) |
| \(x = 1\) | Tiefpunkt (Minimum) | Wendepunkt (steilste negative Steigung) |
| \(x = 2\) | Nullstelle (VZW von \(-\) nach \(+\)) | Tiefpunkt |
| \(x < 0\) | \(f(x) > 0\) | Graph steigt |
| \(0 < x < 2\) | \(f(x) < 0\) | Graph fällt |
| \(x > 2\) | \(f(x) > 0\) | Graph steigt |
Grafische Darstellung
Der Graph von \(F\) ist eine Funktion 3. Grades (kubische Parabel). Er kommt von links unten, hat bei \((0|1)\) einen Hochpunkt, geht bei \(x=1\) durch einen Wendepunkt und erreicht bei \(x=2\) seinen Tiefpunkt, bevor er wieder dauerhaft ansteigt.
Graph der Funktion \(f\) (schwarz) und der zugehörigen Stammfunktion \(F\) durch \(P(0|1)\) (gestrichelt, orange).
b) Begründung der Zusammenhänge
- Nullstellen: Da \(f\) die Ableitung von \(F\) ist, bedeuten Nullstellen von \(f\) eine Steigung von \(0\) bei \(F\). Ein Vorzeichenwechsel (VZW) in \(f\) zeigt an, ob es sich um einen Hochpunkt (\(+ \to -\)) oder Tiefpunkt (\(- \to +\)) handelt.
- Tiefpunkt der Parabel: Der Scheitelpunkt der Parabel bei \(x=1\) ist die Stelle, an der \(f\) ihren kleinsten Wert annimmt. Für \(F\) bedeutet das: Hier ist die Abwärtssteigung am größten. Dies ist der Wendepunkt der Stammfunktion.