Polynomdivision - Lösung

a) Bestimmen einer Nullstelle durch Probieren

Wir testen einfache Teiler der Zahl \(12\): $$ \begin{aligned} f(1) &= 1^3 - 13 \cdot 1 + 12 \\ f(1) &= 1 - 13 + 12 \\ f(1) &= 0 \end{aligned} $$ Damit ist \(x_1 = 1\) eine Nullstelle. Der zugehörige Linearfaktor ist \((x - 1)\).

b) Berechnung der weiteren Nullstellen

Schritt 1: Polynomdivision $$ \begin{aligned} (x^3 \quad \quad - 13x + 12) &: (x - 1) = x^2 + x - 12 \\ -(x^3 - x^2) \quad \quad \quad & \\ \overline{\quad \quad \quad x^2 - 13x} \quad & \\ -(x^2 - x) \quad & \\ \overline{\quad \quad -12x + 12} & \\ -(-12x + 12) & \\ \overline{\quad \quad \quad \quad \quad \quad 0} & \end{aligned} $$

Schritt 2: Nullstellen des Ergebnisterms berechnen $$ \begin{aligned} x^2 + x - 12 &= 0 \\ x_{2,3} &= -\frac{1}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 - (-12)} \\ x_{2,3} &= -0,5 \pm \sqrt{0,25 + 12} \\ x_{2,3} &= -0,5 \pm \sqrt{12,25} \\ x_{2,3} &= -0,5 \pm 3,5 \end{aligned} $$ Somit ergeben sich \(x_2 = 3\) und \(x_3 = -4\).

Ergebnis: Die Nullstellen der Funktion liegen bei \(x_1 = 1\), \(x_2 = 3\) und \(x_3 = -4\).