Es regnet - Lösung

Zu Teilaufgabe a)

Berechnung des gesamten Zuflusses über 4 Stunden: $$ \begin{aligned} V_{zu} &= \int_{0}^{4} (-15t^2 + 60t) \, dt \\ V_{zu} &= \left[ -5t^3 + 30t^2 \right]0^4 \\ V \end{aligned} $$} &= (-5 \cdot 64 + 30 \cdot 16) - 0 = \mathbf{160\,\text{Liter}

Zu Teilaufgabe b)

Grundfläche \(A_G = \pi \cdot (40\,\text{cm})^2 = 1600\pi\,\text{cm}^2\).
Umrechnung in Liter: \(1000\, \text{cm}^3\)=\(1\,\text{Liter}\).

Funktionsgleichung für die Höhe \(H(t)\) in cm: $$ \begin{aligned} H(t) &= \frac{V(t)}{A_G}\\ H(t) &= \frac{(200 - 5t^3 + 30t^2) \cdot 1000}{1600\pi} \end{aligned} $$

Füllhöhe nach \(t = 2,5\,\text{h}\): Zuerst Volumen berechnen: \(V(2,5) = 200 + (-5 \cdot 2,5^3 + 30 \cdot 2,5^2) = 309,375\,\text{l}\). $$ \begin{aligned} H(2,5) &= \frac{309375}{1600\pi} \approx \mathbf{61,55\,\text{cm}} \end{aligned} $$

Zu Teilaufgabe c)

Abflussrate: \(4,5\,\text{l/min} \cdot 60\,\text{min/h} = \mathbf{270\,\text{l/h}}\). Gesucht ist der Zeitpunkt \(T\), an dem das zusätzliche Volumen (seit \(t=0\)) wieder auf Null gesunken ist: $$ \begin{aligned} \int_{0}^{2,5} z(t) \, dt + \int_{2,5}^{T} (z(t) - 270) \, dt &= 0 \end{aligned} $$

Mittels CAS ergibt sich: \(T = 3\,\text{h}\).

Ergebnis: Nach 3 Stunden Gesamtzeit bzw. \(3\,\text{h}\)-2,5\,\text{h}=0,5\,\text{h}$ nach Öffnung des Wasserhahns hat die Tonne wieder ihren Anfangsbestand von 200 Litern erreicht.