Schnittwinkel - Lösung

a) Schnittpunkt und Schnittwinkel von f und g

1. Schnittstelle berechnen: $$ \begin{aligned} x^2 - 6x + 8 &= x^3 + 2x^2 + 2x + 8 \\ 0 &= x^3 + x^2 + 8x \\ 0 &= x \cdot (x^2 + x + 8) \end{aligned} $$ Die einzige reelle Lösung ist $x_s = 0$. Der Schnittpunkt ist $S(0|f(0))$, also $S(0|8)$.

2. Steigungen an der Schnittstelle:

$f'(x) = 2x - 6 \Rightarrow m_1 = f'(0) = -6$
$g'(x) = 3x^2 + 4x + 2 \Rightarrow m_2 = g'(0) = 2$

3. Schnittwinkel berechnen (Weg 1: Differenz der Steigungswinkel)

Zuerst berechnen wir die einzelnen Steigungswinkel $\alpha_1$ und $\alpha_2$ zur positiven $x$-Achse: $$ \begin{aligned} \alpha_1 &= \arctan(m_1) = \arctan(-6) \approx -80,54^\circ \\ \alpha_2 &= \arctan(m_2) = \arctan(2) \approx 63,43^\circ \end{aligned} $$

Der Schnittwinkel $\gamma$ ist die Differenz dieser Winkel. Da der Winkel stets als spitzer Winkel angegeben wird, nutzen wir Betragsstriche und korrigieren, falls der berechnete Wert größer als $90^\circ$ ist: $$ \begin{aligned} \tilde{\gamma} &= |\alpha_1 - \alpha_2| \\ \tilde{\gamma} &= |-80,54^\circ - 63,43^\circ| \\ \tilde{\gamma} &= |-143,97^\circ| = 143,97^\circ \end{aligned} $$

Da der Schnittwinkel als der spitze Winkel zwischen den Geraden definiert ist, berechnen wir den Nebenwinkel: $$ \begin{aligned} \gamma &= 180^\circ - 143,97^\circ \\ \gamma &\approx 36,03^\circ \end{aligned} $$

Alternative (Weg 2: Schnittwinkelformel): Direkte Berechnung über die Formel: $$ \begin{aligned} \tan(\gamma) &= \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 \cdot m_2} \right| \\ \tan(\gamma) &= \left| \frac{-6 - 2}{1 + (-6) \cdot 2} \right| = \left| \frac{-8}{-11} \right| = \frac{8}{11} \\ \gamma &= \arctan\left(\frac{8}{11}\right) \approx 36,03^\circ \end{aligned} $$

b) Schnittwinkel im zweiten Quadranten

1. Schnittstellen berechnen: $$ \begin{aligned} 0,5x^2 + x + 3 &= 0,5x + 4 \\ 0,5x^2 + 0,5x - 1 &= 0 \\ x^2 + x - 2 &= 0 \\ (x+2)(x-1) &= 0 \end{aligned} $$ Schnittstellen sind $x_1 = -2$ und $x_2 = 1$. Da der Schnittpunkt im zweiten Quadranten liegen muss ($x < 0$), ist nur $x_s = -2$ relevant. $f(-2) = 0,5(-2)^2 + (-2) + 3 = 2 - 2 + 3 = 3 \Rightarrow S(-2|3)$.

2. Steigungen berechnen: $f'(x) = x + 1 \Rightarrow m_1 = f'(-2) = -1$ $g'(x) = 0,5 \Rightarrow m_2 = 0,5$

3. Schnittwinkel berechnen: $$ \begin{aligned} \alpha_1 &= \arctan(-1) = -45^\circ \\ \alpha_2 &= \arctan(0,5) \approx 26,57^\circ \\ \gamma &= |26,57^\circ - (-45^\circ)| = 71,57^\circ \end{aligned} $$

Ergebnis: Der Schnittwinkel im zweiten Quadranten beträgt ca. $71,57^\circ$.