Geteilter Rotationskörper - Lösung

Zu Teilaufgabe a)

Es entsteht ein Zylinder mit Radius $r=1$ und Höhe $h=1$.

\[ \begin{aligned} V_{Gesamt} &= \pi \cdot \int_{0}^{1} 1^2 \, dx= \pi \cdot [x]_0^1=\pi \end{aligned} \]

Zu Teilaufgabe b)

Körper: Durch die Rotation von $g$ entsteht im Inneren ein Kegel. Der zweite Teilkörper ist der Rest des Zylinders (ein Hohlkörper).
Volumen des Kegels: $$ \begin{aligned} V_g &= \pi \cdot \int_{0}^{1} x^2 \, dx \\ V_g &= \pi \cdot \left[ \frac{1}{3}x^3 \right]_0^1 = \frac{1}{3}\pi \end{aligned} $$
Verhältnis: Das Volumen des Kegels ist $\frac{1}{3}\pi$, das Restvolumen ist $\pi - \frac{1}{3}\pi = \frac{2}{3}\pi$. Das Verhältnis der Volumina beträgt somit 1 : 2.

Fläche vs. Volumen

Es ist ein häufiger Trugschluss zu glauben, dass eine flächenhalbierende Gerade auch das Rotationsvolumen halbiert.

Obwohl die Gerade $g(x) = x$ die Fläche unter $f(x) = 1$ im Intervall $[0; 1]$ exakt halbiert ($A_{Dreieck} = 0,5$), beträgt das Volumen des Kegels nur ein Drittel des Zylinders.

Warum ist das so? Bei der Rotation wird der Radius quadriert ($V \sim r^2$). Da die Radien der Geraden $g(x)$ im Intervall $[0; 1]$ (außer am Endpunkt) kleiner als $1$ sind, bewirkt das Quadrieren ein stärkeres „Schrumpfen“ des Volumens im Vergleich zur Fläche: $$ \begin{aligned} \text{Fläche:} \quad & \int_{0}^{1} x \, dx = \frac{1}{2} \\ \text{Volumen:} \quad & \pi \cdot \int_{0}^{1} x^2 \, dx = \frac{1}{3}\pi \end{aligned} $$ Zudem haben weiter außen liegende Flächenanteile bei der Rotation einen größeren Umfang und erzeugen daher mehr Volumen als Anteile nahe der Drehachse.

Zu Teilaufgabe c)

Das Zielvolumen des inneren Körpers ist $V_{innen} = \frac{\pi}{2}$. Da ein Kegel bei $m=1$ nur $\frac{\pi}{3}$ füllen würde, muss $m > 1$ gelten. Die Gerade schneidet die Zylinderwand $f(x)=1$ bei $x_S = \frac{1}{m}$.

\[ \begin{aligned} V_{innen} &= \pi \cdot \int_{0}^{\frac{1}{m}} (mx)^2 \, dx + \pi \cdot \int_{\frac{1}{m}}^{1} 1^2 \, dx = \frac{\pi}{2} \quad | : \pi \\\\ \frac{1}{2} &= \left[ \frac{m^2}{3}x^3 \right]_0^{\frac{1}{m}} + [x]_{\frac{1}{m}}^1 \\\\ \frac{1}{2} &= \left( \frac{m^2}{3} \cdot \frac{1}{m^3} \right) + \left( 1 - \frac{1}{m} \right) \\\\ \frac{1}{2} &= \frac{1}{3m} + 1 - \frac{1}{m} \\\\ \frac{1}{2} &= 1 - \frac{2}{3m} \\\\ \frac{2}{3m} &= \frac{1}{2} \\\\ 3m &= 4 \\\\ m &= \mathbf{\frac{4}{3}} \end{aligned} \]

Ergebnis: Die Steigung der Geraden muss $m = \frac{4}{3}$ betragen.