Zylinder in der Kugel - Lösung

1. Aufstellen der Gleichungen

Nebenbedingung (Satz des Pythagoras): Im Schnitt durch die Kugel gilt für den Zusammenhang zwischen Kugelradius \(R\), Zylinderradius \(r\) und Zylinderhöhe \(h\): $$ r^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2 = R^2 \implies r^2 = R^2 - \frac{h^2}{4} $$ Mit \(R = 10\,\rm cm\) folgt: $$ r^2 = 100 - \frac{h^2}{4} $$

Zielfunktion (Volumen): $$ V(h) = \pi \cdot r^2 \cdot h = \pi \cdot \left(100 - \frac{h^2}{4}\right) \cdot h $$ $$ V(h) = \pi \cdot \left(100h - \frac{1}{4}h^3\right) $$

2. Bestimmung des Maximums

Erste Ableitung bilden: $$ V'(h) = \pi \cdot \left(100 - \frac{3}{4}h^2\right) $$ Notwendige Bedingung \(V'(h) = 0\): $$ 100 - \frac{3}{4}h^2 = 0 \Longleftrightarrow h^2 = \frac{400}{3} $$ $$ h = \pm\sqrt{\frac{400}{3}} = \pm\frac{20}{\sqrt{3}} \approx \pm11,55\,\rm cm $$ Im Sachkontext entfällt die negative Lösung. Also \(h\approx 11,55\,\rm cm\)

3. Berechnung der restlichen Maße

Radius \(r\): $$ r^2 = 100 - \frac{\frac{400}{3}}{4} = 100 - \frac{100}{3} = \frac{200}{3} $$ $$ r = \pm\sqrt{\frac{200}{3}} \approx \pm8,16\,\rm cm $$ Im Sachkontext entfällt die negative Lösung. Also \(r\approx 8,16\,\rm cm\) Maximales Volumen \(V\): $$ V_{max} = \pi \cdot \frac{200}{3} \cdot \frac{20}{\sqrt{3}} \approx 2418,40\,\rm cm^3 $$

4. Ergebnis

Der Zylinder mit dem größten Volumen hat eine Höhe von ca. \(11,55\,\rm cm\) und einen Radius von ca. \(8,16\,\rm cm\). Das maximale Volumen beträgt etwa \(2418,40\,\rm cm^3\).

Hinweis: Allgemein gilt für dieses Problem immer \(h = \frac{2R}{\sqrt{3}}\).