Ableitungsregeln II - Lösung
a) Bestimmen von \(f'(x)\) (Kettenregel)
Umschreiben: \(f(x) = (x^2 + 1)^{\frac{1}{2}}\) $$ \begin{aligned} f'(x) &= \frac{1}{2}(x^2 + 1)^{-\frac{1}{2}} \cdot 2x \\ &= \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \end{aligned} $$
b) Bestimmen von \(g'(x)\) (Kettenregel)
c) Bestimmen von \(f_3'(x)\) (Quotientenregel)
\(u = x^2 + 1, u' = 2x\) und \(v = x - 2, v' = 1\) $$ \begin{aligned} f_3'(x) &= \frac{2x(x - 2) - (x^2 + 1) \cdot 1}{(x - 2)^2} \\ &= \frac{2x^2 - 4x - x^2 - 1}{(x - 2)^2} \\ &= \frac{x^2 - 4x - 1}{(x - 2)^2} \end{aligned} $$
d) Bestimmen von \(f_4'(x)\) (Kettenregel mit Parameter)
e) Bestimmen von \(f_5'(x)\)
Alternative 1: Produktregel
\(u = x + 2, u' = 1\) und \(v = x^{\frac{1}{2}}, v' = \frac{1}{2\sqrt{x}}\) $$ \begin{aligned} f_5'(x) &= 1 \cdot \sqrt{x} + (x + 2) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} \\ &= \sqrt{x} + \frac{x + 2}{2\sqrt{x}} \end{aligned} $$
Alternative 2: Ausmultiplizieren
Zuerst vereinfachen: $$ \begin{aligned} f_5(x) &= (x + 2) \cdot x^{\frac{1}{2}} \\ &= x^{\frac{3}{2}} + 2x^{\frac{1}{2}} \end{aligned} $$ Nun ableiten: $$ \begin{aligned} f_5'(x) &= \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} \\ &= \frac{3}{2}\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} \end{aligned} $$
f) Bestimmen von \(f_6'(x)\)
Hier berechnen wir zunächst die Ableitung mit der Produktregel (siehe oben) und fassen das Ergebnis durch Ausmultiplizieren zusammen: $$ \begin{aligned} f_6'(x) &= \frac{1}{2\sqrt{x}}(2x + 1)^2 + \sqrt{x} \cdot 4(2x + 1) \\ &= \frac{(4x^2 + 4x + 1)}{2\sqrt{x}} + 4\sqrt{x}(2x + 1) \\ &= \frac{4x^2 + 4x + 1}{2\sqrt{x}} + \frac{8x(2x + 1)}{2\sqrt{x}} \\ &= \frac{4x^2 + 4x + 1 + 16x^2 + 8x}{2\sqrt{x}} \\ &= \frac{20x^2 + 12x + 1}{2\sqrt{x}} \end{aligned} $$
Alternative: Erst Ausmultiplizieren, dann Ableiten
Zuerst die binomische Formel auflösen: $$ \begin{aligned} f_6(x) &= \sqrt{x} \cdot (4x^2 + 4x + 1) \\ &= 4x^{2,5} + 4x^{1,5} + x^{0,5} \end{aligned} $$ Ableiten: $$ \begin{aligned} f_6'(x) &= 10x^{1,5} + 6x^{0,5} + 0,5x^{-0,5} \\ &= 10\sqrt{x^3} + 6\sqrt{x} + \frac{1}{2\sqrt{x}} \end{aligned} $$ (Hinweis: Beide Formen sind mathematisch identisch, die Bruchdarstellung ist oft für weitere Berechnungen praktischer.)