Dreieck und Kurvenschar - Tipp

1. Die Geometrie verstehen

Das Dreieck wird aus den beiden Nullstellen (Grundseite auf der x-Achse) und dem Scheitelpunkt (Spitze des Dreiecks) gebildet.

• Die Länge der Grundseite \(g\) ist die Differenz der beiden Nullstellen.
• Die Höhe \(h\) des Dreiecks entspricht dem Betrag des y-Wertes des Scheitelpunkts.

2. Nullstellen berechnen

Setze \(f_a(x) = 0\).

• Tipp: Da die Funktion kein \(c\) (festes Glied ohne \(x\)) hat, kannst du \(x\) einfach ausklammern. Eine Nullstelle ist also immer \(x_1 = 0\).

3. Scheitelpunkt finden

Du musst nicht unbedingt die quadratische Ergänzung nutzen.

• Tipp: Da Parabeln symmetrisch sind, liegt die x-Koordinate des Scheitelpunkts (\(x_s\)) genau in der Mitte zwischen deinen beiden Nullstellen. Setze diesen Wert in \(f_a(x)\) ein, um die Höhe zu erhalten.

4. Zielfunktion aufstellen

Die Fläche eines Dreiecks berechnet sich durch \(A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h\).

• Erstelle eine Funktion \(A(a)\), in der nur noch der Parameter \(a\) vorkommt.

5. Das Maximum finden

• Bilde die erste Ableitung \(A'(a)\) und setze sie gleich Null.
• Überprüfe, ob dein Ergebnis im erlaubten Intervall \(a \in [\frac{1}{5}, \frac{4}{5}]\) liegt.
• Berechne zum Schluss den Funktionswert \(A(a)\), um die maximale Fläche anzugeben.