Kegel in Kugel - Lösung

Aufgabe a) Extremwertbestimmung mit $R = 9$

1. Zielfunktion

Nebenbedingung (Pythagoras): $r^2 = 9^2 - (h - 9)^2 = 18h - h^2$. Einsetzen in $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$: $$ V(h) = \frac{\pi}{3}(18h^2 - h^3) $$

2. Optimierung

Zunächst wird die erste Ableitung von $V(h)$ bestimmt: $$ V'(h) = \frac{\pi}{3}(36h - 3h^2) = \pi(12h - h^2) $$

Setze $V'(h) = 0$: $$ \pi h(12 - h) = 0 \implies h = 12\,\rm (da\ h > 0) $$

Prüfung mit zweiter Ableitung: $$ \begin{aligned} V''(h) &= \pi(12 - 2h)\\ V''(12) &= -12\pi < 0 \implies\text{Maximum} \end{aligned} $$

3. Ergebnisse

Höhe: $h = 12$
Radius: $r = \sqrt{18(12) - 12^2} = \sqrt{72} \approx 8,49$
Max. Volumen: $V(12) = \frac{\pi}{3}(18 \cdot 12^2 - 12^3) = 288\pi \approx 904,78\,\rm VE$

Aufgabe b) Zusatz: Allgemeine Untersuchung

Allgemeines Maximum

Analog zur ersten Aufgabe wird die Nebenbedingung über den Satz des Pythagoras aufgestellt: $$ r^2 = R^2 - (h - R)^2 = 2hR - h^2 $$ Die Zielfunktion in Abhängigkeit von $R$ ergibt sich durch Einsetzen der Nebenbedingung in die Volumenformel: $$ V(h) = \frac{\pi}{3}(2Rh^2 - h^3) $$ Ableiten nach $h$: $$ V'(h) = \frac{\pi}{3}(4Rh - 3h^2) $$ Nullstelle von $V'(h)$: $$ h(4R - 3h) = 0 \implies \mathbf{h = \frac{4}{3}R} $$

Volumenverhältnis

Berechnung von $r^2$ an der Stelle $h = \frac{4}{3}R$: $$ \begin{aligned} r^2 &= 2 \cdot \left( \frac{4}{3}R \right) \cdot R - \left( \frac{4}{3}R \right)^2 \\ &= \frac{8}{3}R^2 - \frac{16}{9}R^2 \\ &= \frac{24}{9}R^2 - \frac{16}{9}R^2 \\ &= \frac{8}{9}R^2 \end{aligned} $$

Maximales Kegelvolumen: $$ V_{\text{max}} = \frac{1}{3}\pi \cdot \frac{8}{9}R^2 \cdot \frac{4}{3}R = \frac{32}{81}\pi R^3 $$ Verhältnis zum Kugelvolumen ($V_{\text{Kugel}} = \frac{4}{3}\pi R^3$): $$ \begin{aligned} \frac{V_{\text{Kegel}}}{V_{\text{Kugel}}} &= \frac{\frac{32}{81}\pi R^3}{\frac{4}{3}\pi R^3} \\ &= \frac{32}{81} \cdot \frac{3}{4} \\ &= \frac{8}{27} \approx 29{,}6\,\% \end{aligned} $$