Rechteck mit Randwert - Lösung

1. Zielfunktion

Die Fläche berechnet sich aus Höhe $f(x)$ und Breite $(4-x)$: $$ \begin{aligned} A(x) &= (4-x) \cdot \left( \frac{7}{16}x^2 + 2 \right) \\ &= -\frac{7}{16}x^3 + \frac{7}{4}x^2 - 2x + 8 \end{aligned} $$

2. Lokale Extrempunkte

Wir bilden die Ableitung und setzen sie Null: $$ A'(x) = -\frac{21}{16}x^2 + \frac{14}{4}x - 2 = 0 $$ Mittels Taschenrechner ergibt sich:

$x_1 \approx 0,83$
$x_2 \approx 1,83$

3. Nachweis der Art der Extrempunkte

Um die Art der Extrempunkte zu bestimmen, bilden wir die zweite Ableitung $A''(x)$: $$ \begin{aligned} A''(x) &= -\frac{42}{16}x + \frac{14}{4} \\ &= -\frac{21}{8}x + 3{,}5 \end{aligned} $$

Nun setzen wir die kritischen Werte $x_1$ und $x_2$ in $A''(x)$ ein:

Untersuchung von $x_1 \approx 0{,}83$: $$ \begin{aligned} A''(0{,}83) &\approx -\frac{21}{8} \cdot 0{,}83 + 3{,}5 \\ &\approx 1{,}32 > 0 \implies \text{lokales Minimum} \end{aligned} $$

Untersuchung von $x_2 \approx 1{,}83$: $$ \begin{aligned} A''(1{,}83) &\approx -\frac{21}{8} \cdot 1{,}83 + 3{,}5 \\ &\approx -1{,}30 < 0 \implies \text{lokales Maximum} \end{aligned} $$

Der Funktionswert am lokalen Maximum: $$ A(1,83) \approx (4 - 1,83) \cdot f(1,83) \approx 7,51 $$

4. Randwertbetrachtung

Da wir ein globales Maximum im Intervall $[0, 4]$ suchen, müssen wir die Grenzen prüfen:

Rechter Rand ($x = 4$): $$ A(4) = (4 - 4) \cdot f(4) = 0 $$ (Das Rechteck hat die Breite 0).
Linker Rand ($x = 0$): $$ A(0) = (4 - 0) \cdot f(0) = 4 \cdot 2 = 8. $$

5. Endergebnis

Der Vergleich zeigt: $A(0) = 8$ ist größer als das lokale Maximum $A(1,83) \approx 7,51$.

Die Fläche des Rechtecks wird also maximal, wenn der Punkt $Q$ auf der y-Achse liegt:

Optimaler Punkt: $Q(0 | 2)$
Maximaler Flächeninhalt: $A_{max} = 8$

Fazit: Das "rechnerische" Maximum der Kurve ist hier nur ein lokales Maximum; das globale Maximum liegt am Rand. Wird die Zielfunktion auf einem abgeschlossenen Intervall betrachtet, ist eine Randwertbetrachtung notwendig.