Stammfunktion einer linearen Funktion - Lösung
Gegeben ist \(f(x) = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}\) mit der Nullstelle bei \(x = 1\).
a) Jede Stammfunktion von \(f\) ist eine quadratische Funktion.
- Aussage: Richtig
- Begründung: Beim Integrieren einer linearen Funktion (Polynom 1. Grades) erhöht sich der Grad um 1. Die Stammfunktion hat die Form \(F(x) = -\frac{1}{4}x^2 + \frac{1}{2}x + C\), was eine quadratische Funktion darstellt.
b) Jede Stammfunktion von \(f\) hat an der Stelle \(x = 1\) ein lokales Minimum.
- Aussage: Falsch
- Begründung: An der Stelle \(x = 1\) gilt \(f(1) = 0\), also hat \(F\) dort eine Extremstelle (\(F'(1)=0\)). Da \(f\) (die Steigung von \(F\)) dort jedoch einen Vorzeichenwechsel von Plus nach Minus hat, liegt ein lokales Maximum vor.
c) Wenn \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist, so ist \(F''(0) = 0\).
- Aussage: Falsch
- Begründung: Es gilt \(F''(x) = f'(x)\). Die Ableitung \(f'(x)\) entspricht der Steigung der Geraden \(f\). Da die Steigung überall \(m = -\frac{1}{2}\) beträgt, gilt \(F''(0) = -0,5\) und nicht \(0\).
d) Es ist \(\int_{0}^{2} f(x) \, dx = 0\).
- Aussage: Richtig
- Begründung:
\[\begin{align*}
\int_{0}^{2} (-\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}) \, dx &= [-\frac{1}{4}x^2 + \frac{1}{2}x]_0^2 \\
&= (-\frac{1}{4} \cdot 4 + \frac{1}{2} \cdot 2) - 0 \\
&= (-1 + 1) = 0
\end{align*}\]
Grafisch: Die Fläche im Intervall \([0;1]\) (oberhalb der x-Achse) ist genau so groß wie die Fläche im Intervall \([1;2]\) (unterhalb der x-Achse).
e) Es gibt Stammfunktionen von \(f\), die an der Stelle \(x = 0\) eine waagerechte Tangente haben.
- Aussage: Falsch
- Begründung: Eine waagerechte Tangente bei \(F\) setzt voraus, dass \(F'(0) = 0\) gilt. Da \(F'(0) = f(0)\) ist und man am Graphen (oder der Gleichung) ablesen kann, dass \(f(0) = 0,5\) ist, hat keine Stammfunktion dort eine waagerechte Tangente.