Rotationsvolumen - Lösung

Lösung zu a)

Gegeben ist $f(x) = \frac{1}{x} = x^{-1}$.

1. Ableitung bilden: $$f'(x) = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$$

2. Punkt und Steigung an der Stelle $x=1$: $$ \begin{aligned} f(1) &= \frac{1}{1} = 1 \implies P(1|1) \\ f'(1) &= -\frac{1}{1^2} = -1 \implies m = -1 \end{aligned} $$

3. Tangentengleichung berechnen ($y = mx + c$): $$ \begin{aligned} 1 &= -1 \cdot 1 + c \\ 1 &= -1 + c \quad | +1 \\ c &= 2 \end{aligned} $$ Die Tangentengleichung lautet: $t(x) = -x + 2$.

Lösung zu b)

1. Geometrische Form: Die Tangente $t(x) = -x + 2$ schneidet die $y$-Achse bei $2$ und die $x$-Achse bei $x=2$ (Nullstelle). Die Fläche im 1. Quadranten ist ein rechtwinkliges Dreieck. Bei Rotation um die $x$-Achse entsteht ein gerader Kreiskegel.

2. Volumenberechnung per Integral: Die Integrationsgrenzen liegen zwischen $x=0$ und der Nullstelle $x=2$. $$ \begin{aligned} V &= \pi \cdot \int_{0}^{2} (-x + 2)^2 \, dx \\ &= \pi \cdot \int_{0}^{2} (x^2 - 4x + 4) \, dx \\ &= \pi \cdot \left[ \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 4x \right]_{0}^{2} \\ &= \pi \cdot \left( \left( \frac{1}{3} \cdot 8 - 2 \cdot 4 + 4 \cdot 2 \right) - 0 \right) \\ &= \pi \cdot \left( \frac{8}{3} - 8 + 8 \right) \\ &= \mathbf{\frac{8}{3}\pi} \end{aligned} $$

Lösung zu c) (Kurzverifikation)

Allgemeine Tangente an $f(x)$ bei $x=a$: $$ \begin{aligned} t_a(x) &= f'(a)(x-a) + f(a) \\ &= -\frac{1}{a^2}(x-a) + \frac{1}{a} \\ &= -\frac{1}{a^2}x + \frac{1}{a} + \frac{1}{a} = -\frac{1}{a^2}x + \frac{2}{a} \end{aligned} $$ Die Nullstelle liegt bei $x=2a$. Das Volumen berechnet sich zu: $$ \begin{aligned} V(a) &= \pi \int_{0}^{2a} \left(-\frac{1}{a^2}x + \frac{2}{a}\right)^2 \, dx \\ &= \dots = \frac{8}{3a}\pi \end{aligned} $$ Da $a$ im Nenner steht, bewirkt eine Verdopplung von $a$ eine Halbierung des Volumens $V(2a) = \frac{1}{2} V(a)$. Die Aussage ist wahr.