Wahr oder falsch? - Lösung

1. Aussage: Der Graph von \(f\) besitzt bei \(x = 0\) einen lokalen Extrempunkt.

Falsch. An der Stelle \(x = 0\) hat die Ableitung \(f'\) zwar eine Nullstelle, aber keinen Vorzeichenwechsel (der Graph berührt die x-Achse nur). Daher liegt dort ein Sattelpunkt und kein Extrempunkt vor.

2. Aussage: Der Graph von \(f\) ist im Intervall \([0; 2]\) rechtsgekrümmt.

Wahr. Im Intervall \([0; 2]\) ist die Ableitungsfunktion \(f'\) streng monoton fallend. Das bedeutet, dass die zweite Ableitung \(f''\) negativ ist (\(f''(x) < 0\)), was eine Rechtskrümmung des Graphen von \(f\) definiert.

3. Aussage: Die Funktion \(f\) besitzt an der Stelle \(x = 3\) ein lokales Minimum.

Wahr. Bei \(x = 3\) hat \(f'\) eine Nullstelle mit einem Vorzeichenwechsel von Minus nach Plus. Die Funktion \(f\) fällt also links von 3 und steigt rechts von 3, was charakteristisch für einen Tiefpunkt (lokales Minimum) ist.

4. Aussage: Der Graph von \(f\) besitzt im dargestellten Bereich genau zwei Wendepunkte.

Wahr. Wendepunkte von \(f\) entsprechen den lokalen Extrempunkten von \(f'\). Im Graphen von \(f'\) sind im Bereich \([-1; 4]\) zwei Extrempunkte erkennbar: Ein Hochpunkt bei \(x = 0\) und ein Tiefpunkt bei \(x = 2\). Somit hat \(f\) dort zwei Wendestellen.

5. Aussage: Es gilt die Beziehung \(f(1) > f(2)\).

Wahr. Im Intervall \([1; 2]\) verläuft der Graph von \(f'\) unterhalb der x-Achse (\(f'(x) < 0\)). Damit ist die Funktion \(f\) in diesem Bereich streng monoton fallend. Wenn eine Funktion fällt, muss der Funktionswert an der kleineren Stelle (\(x=1\)) größer sein als an der größeren Stelle (\(x=2\)).