Gebrochen-rationale Kurvenschar - Lösung
a) Definitionsbereich und Asymptoten
- Definitionsbereich: \(x^2 - x = 0 \implies x(x-1) = 0\). Also \(D_{f_a} = \mathbb{R} \setminus \{0; 1\}\).
- Vertikale Asymptoten: Da \(a > 0\), sind \(x = 0\) und \(x = 1\) Polstellen.
- Verhalten im Unendlichen: \(\lim_{x \to \pm \infty} \frac{2x^2 - a}{x^2 - x} = 2\).
- Waagerechte Asymptote: \(y = 2\).
b) Nachweis: Keine Extrema für \(a \le 2\)
1. Ableitung: \(u = 2x^2 - a \implies u' = 4x\) \(v = x^2 - x \implies v' = 2x - 1\) $$ \begin{aligned} f_a'(x) &= \frac{4x(x^2 - x) - (2x^2 - a)(2x - 1)}{(x^2 - x)^2} \\ &= \frac{4x^3 - 4x^2 - (4x^3 - 2x^2 - 2ax + a)}{(x^2 - x)^2}\\ &= \frac{-2x^2 + 2ax - a}{(x^2 - x)^2} \end{aligned} $$
Notwendige Bedingung \(f_a'(x) = 0 \implies -2x^2 + 2ax - a = 0 \implies x^2 - ax + 0,5a = 0\). p-q-Formel: \(x_{1,2} = \frac{a\pm\sqrt{a^2-2a}}{2}\).
Falls \(a<2\) so ist der Term unter der Wurzel negativ. Demnach sind \(x_{1,2}\) nicht definiert und es gibt keine Extrempunkte.
Falls \(a =2\), dann ist \(x_{1,2}=1\). Es gibt eine doppelte Nullstelle und theoretisch einen Sattelpunkt, aber keine lokalen Extrema. Da aber \(x=1\) nicht im Definitionsbereich von \(f_a\) liegt. Gibt es diesen Sattelpunkt nicht. Es würde eine sogenannte hebbare Lücke entstehen.
c) Extrempunkt auf \(y = x\)
Für \(a > 2\) sind die Extremstellen: \(x_{1,2} = \frac{a \pm \sqrt{a^2 - 2a}}{2}\).
Die größere Koordinate ist
$$
\begin{aligned}
x = \frac{a + \sqrt{a^2 - 2a}}{2}
\end{aligned}
$$
Damit dieser Punkt auf \(y = x\) liegt, muss \(f_a(x) = x\) gelten. Mittels CAS ergibt sich: $$ \begin{aligned} f_a\left(\frac{a + \sqrt{a^2 - 2a}}{2}\right) &= \frac{a + \sqrt{a^2 - 2a}}{2} \\ a&= 3,125 \implies x = 2,5 \end{aligned} $$ Der y-Wert ist \(f_{3,125}(2,5)=2,5\).
Ergebnis: \(a = 3,125\) führt zu \(x = 2,5\). Der Extrempunkt ist \(E(2,5 \mid 2,5)\).