Bremsvorgang - Lösung

Lösung zu a) Bestimmung des Haltezeitpunktes

Um den Zeitpunkt des Stillstands zu finden, suchen wir die Nullstelle der Geschwindigkeitsfunktion $v(t)$. $$ \begin{aligned} v(t) &= 0 \\ 30 - 1,2t^2 &= 0 \quad | -30 \\ -1,2t^2 &= -30 \quad | :(-1,2) \\ t^2 &= 25 \quad | \sqrt{\dots} \\ t &= 5 \quad (t = -5 \text{ entfällt im Sachzusammenhang}) \end{aligned} $$

Ergebnis: Das Fahrzeug kommt nach 5 Sekunden zum Stillstand.

Lösung zu b) Berechnung des Bremsweges

Der zurückgelegte Weg $s$ entspricht dem Integral der Geschwindigkeit über der Zeit im Intervall $[0; 5]$. $$ \begin{aligned} s &= \int_{0}^{5} (30 - 1,2t^2) \, dt \\ s &= \left[ 30t - \frac{1,2}{3}t^3 \right]_0^5 \\ s &= \left[ 30t - 0,4t^3 \right]_0^5 \\ s &= (30 \cdot 5 - 0,4 \cdot 5^3) - (30 \cdot 0 - 0,4 \cdot 0^3) \\ s &= (150 - 0,4 \cdot 125) - 0 \\ s &= 150 - 50 \\ s &= 100 \end{aligned} $$

Ergebnis: Der gesamte Bremsweg beträgt 100 Meter.

Lösung zu c) Interpretation der Rechnung

Die Rechnung untersucht den Zeitpunkt $t_1$, an dem das Fahrzeug genau 50 Meter seines Bremsweges zurückgelegt hat.

Bedeutung von $t_1$: Nach ca. $1,74$ Sekunden hat das Auto die Hälfte des gesamten Bremsweges (50 von 100 Metern) absolviert.
Geschwindigkeit: Zum diesem Zeitpunkt $t_1$ beträgt die Restgeschwindigkeit des PKW noch ca. $26,37\,\text{m/s}$ (das sind ca. $95\,\text{km/h}$).

Interpretation: Obwohl bereits die Hälfte der Bremsstrecke zurückgelegt wurde, hat sich die Geschwindigkeit nur geringfügig von $108\,\text{km/h}$ auf $95\,\text{km/h}$ verringert. Dies verdeutlicht, dass die Geschwindigkeit während eines Bremsvorgangs nicht linear abnimmt und das Fahrzeug auf den ersten Metern noch eine sehr hohe kinetische Energie besitzt.