Extremale Fläche - Tipp

Um den Parameter $a$ für einen minimalen Flächeninhalt zu finden, folge diesen Schritten:

1. Funktion vorbereiten

Multipliziere den Funktionsterm $f(x) = x(x - a)(x - 2)$ vollständig aus. Das macht das Integrieren im nächsten Schritt wesentlich einfacher.

2. Zielfunktion aufstellen

Der Graph schließt mit der x-Achse zwei Teilflächen ein: * Teilfläche $A_1$ im Intervall $[0; a]$ (oberhalb der x-Achse) * Teilfläche $A_2$ im Intervall $[a; 2]$ (unterhalb der x-Achse)

Die Gesamte Fläche $A(a)$ ist die Summe der Beträge: $$A(a) = \int_{0}^{a} f(x) \, dx - \int_{a}^{2} f(x) \, dx$$ (Hinweis: Das Minus vor dem zweiten Integral sorgt dafür, dass die negative Fläche positiv gezählt wird.)

3. Extremwert bestimmen

Du hast nun eine Funktion $A(a)$, die nur noch vom Parameter $a$ abhängt. 1. Bilde die Ableitung $A'(a)$. 2. Setze die Ableitung gleich Null ($A'(a) = 0$), um das Minimum zu finden. 3. Überprüfe mit der zweiten Ableitung oder durch Überlegung, ob es sich wirklich um ein Minimum handelt.

4. Flächeninhalt berechnen

Vergiss nicht, am Ende den gefundenen Wert für $a$ wieder in deine Formel für $A(a)$ einzusetzen, um den minimalen Flächeninhalt anzugeben.