Schadstoffabbau im Klärbecken - Lösung

a) Konzentration zum Zeitpunkt $t_0 = 4$

Wir berechnen den Funktionswert an der Stelle $4$: $$ \begin{aligned} f(4) &= \frac{200}{4+1} \\ f(4) &= \frac{200}{5} = 40 \end{aligned} $$ Ergebnis: Zum Zeitpunkt des Katalysatorzusatzes beträgt die Konzentration $40$ mg/l.

b) Lineare Gleichung für den weiteren Verlauf (Tangente)

Zuerst bilden wir die Ableitung von $f(t) = 200 \cdot (t+1)^{-1}$: $$ \begin{aligned} f'(t) &= -200 \cdot (t+1)^{-2} \cdot 1 \\ f'(t) &= -\frac{200}{(t+1)^2} \end{aligned} $$

Bedingungen für die Tangente $t(t) = m \cdot t + c$:

I: Gemeinsamer Anstieg ($m = f'(4)$) $$ \begin{aligned} m &= -\frac{200}{(4+1)^2} \\ m &= -\frac{200}{25} = -8 \end{aligned} $$ Die Abbaurate beträgt ab jetzt konstant $8$ mg/(l·h).

II: Gemeinsamer Punkt ($B(4 | 40)$) Wir setzen den Punkt in die Geradengleichung ein, um $c$ zu bestimmen: $$ \begin{aligned} 40 &= -8 \cdot 4 + c \\ 40 &= -32 + c \\ c &= 72 \end{aligned} $$

Ergebnis: Die Gleichung für den weiteren Konzentrationsverlauf lautet $t(t) = -8t + 72$.

c) Zeitpunkt der Schadstofffreiheit

Wir suchen die Nullstelle der Tangente: $$ \begin{aligned} 0 &= -8t + 72 \\ 8t &= 72 \\ t &= 9 \end{aligned} $$

Ergebnis: Das Becken ist nach insgesamt $9$ Stunden (also $5$ Stunden nach Zusatz des Katalysators) schadstofffrei.

Schadstoffabbau im Klärbecken - Lösung

a) Konzentration zum Zeitpunkt \(t_0 = 4\)

b) Lineare Gleichung für den weiteren Verlauf (Tangente)

c) Zeitpunkt der Schadstofffreiheit