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Der Pflanztrog - Lösung

a) Maximale Höhe

Der tiefste Punkt liegt beim Scheitelpunkt \(S(0|-4)\). Da die Oberkante bei \(y=0\) liegt, beträgt die Tiefe \(4 \text{ LE}\). Ergebnis: Die maximale Höhe beträgt \(4 \text{ dm}\).

b) Maximales Fassungsvermögen

Für die Querschnittsfläche gilt.

\[\begin{align*} A &= |\int_{-4}^{4} (\frac{1}{4}x^2 - 4) \, dx|\\ &= |[(\frac{1}{12}x^3 - 4x)]_{-4}^{4}|\\ &= |(\frac{64}{12} - 16) - (-\frac{64}{12} + 16)|\\ &= |(5,33 - 16) - (-5,33 + 16)|\\ &= |-21,33|= 21,33 \text{ dm}^2 \end{align*}\]

Das Volumen lässt sich mithilfe der Querschnittsfläche und der Länge \(L = 12 \text{ m} = 120 \text{ dm}\) berechnen:

\[V = A \cdot L= 21,33 \text{ dm}^2 \cdot 120 \text{ dm} = 2560 \text{ dm}^3\]

Ergebnis: Das Fassungsvermögen beträgt \(2560 \text{ Liter}\).

c) Zeitpunkt bei \(1 \text{ dm}\) Wasserhöhe

  1. Wenn das Wasser \(1 \text{ dm}\) hoch steht, füllt es den Bereich von \(y = -4\) bis \(y = -3\).
  2. Schnittstellen für \(f(x) = -3\): \(\frac{1}{4}x^2 - 4 = -3 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2\).
  3. Flächeninhalt des Wassers:
\[\begin{align*} A_W &= \int_{-2}^{2} (-3 - (\frac{1}{4}x^2 - 4)) \, dx\\ &= [(\frac{1}{12}x^3 - 4x)]_{-2}^{2}\\ &= (2 - \frac{8}{12}) - (-2 + \frac{8}{12})\\ &= \frac{4}{3} - (-\frac{4}{3}) = \frac{8}{3} \text{ dm}^2. \end{align*}\]
  1. Wasservolumen: \(V_W =A_W \cdot L = \frac{8}{3} \cdot 120 = 320 \text{ Liter}\).
  2. Zeit: \(t = 320 \text{ l} / 15 \frac{\text{l}}{\text{min}} \approx 21,33 \text{ min}\). Ergebnis: Nach ca. \(21 \text{ min}\) und \(20 \text{ sek}\) steht das Wasser \(1 \text{ dm}\) hoch.

d) Wasserstand nach \(10 \text{ min}\)

  1. Wasservolumen: \(V = 10 \text{ min} \cdot 15 \frac{\text{l}}{\text{min}} = 150 \text{ l}\).
  2. Querschnittsfläche des Wassers: \(A_W = 150 \text{ l} / 120 \text{ dm} = 1,25 \text{ dm}^2\).
  3. Das Wasser steht erreicht nach 10 min eine Höhe von \(-4+h\).
    Für die Integrationsgrenzen ergibt sich mit:
\[f(x)=-4+h \Leftrightarrow x=\pm \sqrt{4h}\]

Mit diesen Integrationsgrenzen erhält man die Höhe durch Integration:

\[\int_{-\sqrt{4h}}^{\sqrt{4h}} ((-4+h) - f(x)) \, dx = 1,25.\]

Durch Lösen der Gleichung (CAS) ergibt sich: \(h\approx 0,61.\)
Ergebnis: Die Höhe beträgt ca. \(0,61 \text{ dm}\).