Durchatmen - Lösung

Zu Teilaufgabe a)

Die Funktion \(f(t) = 0,125\pi \cdot \sin\left(\frac{\pi}{2}t\right)\) hat den Faktor \(k = \frac{\pi}{2}\) im Argument. Die Periodendauer \(T\) (Dauer eines Atemzugs) berechnet sich durch:

\[ \begin{aligned} T &= \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{\frac{\pi}{2}} \\\\ T &= \mathbf{4\,\text{s}} \end{aligned} \]

Anzahl der Atemzüge pro Minute (\(60\,\text{s}\)):

\[ \begin{aligned} n &= \frac{60\,\text{s}}{4\,\text{s}} = \mathbf{15\,\text{Atemzüge/min}} \end{aligned} \]

Zu Teilaufgabe b)

Das Lungenvolumen \(V(t)\) ist das Integral der Rate \(f(t)\):

\[ \begin{aligned} V(t) &= \int 0,125\pi \cdot \sin\left(\frac{\pi}{2}t\right) \, dt \\\\ V(t) &= 0,125\pi \cdot \left( -\frac{1}{\frac{\pi}{2}} \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2}t\right) \right) + C \\\\ V(t) &= -0,25 \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2}t\right) + C \end{aligned} \]

Bestimmung von \(C\) mit \(V(0) = 3\):

\[ \begin{aligned} 3 &= -0,25 \cdot \cos(0) + C \\\\ 3 &= -0,25 \cdot 1 + C \\\\ C &= 3,25 \end{aligned} \]

Die Funktionsgleichung lautet: \(V(t) = -0,25 \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2}t\right) + 3,25\).

Berechnung für \(t = 2\,\text{s}\):

\[ \begin{aligned} V(2) &= -0,25 \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2} \cdot 2\right) + 3,25 \\\\ V(2) &= -0,25 \cdot \cos(\pi) + 3,25 \\\\ V(2) &= -0,25 \cdot (-1) + 3,25 \\\\ V(2) &= \mathbf{3,5\,\text{l}} \end{aligned} \]

Zu Teilaufgabe c)

Berechnung des Integrals:

\[ \begin{aligned} \int_{0}^{4} f(t) \, dt &= \left[ -0,25 \cdot \cos\left(\frac{\pi}{2}t\right) \right]_0^4 \\\\ &= (-0,25 \cdot \cos(2\pi)) - (-0,25 \cdot \cos(0)) \\\\ &= -0,25 \cdot 1 + 0,25 \cdot 1 \\\\ &= \mathbf{0} \end{aligned} \]

Interpretation: Das Integral über den Zeitraum von 4 Sekunden ist Null. Dies bedeutet, dass die Netto-Veränderung des Volumens über einen vollständigen Atemzug Null beträgt (eingeatmetes Volumen = ausgeatmetes Volumen). Zum Zeitpunkt \(t = 4\,\text{s}\) ist das Lungenvolumen also wieder identisch mit dem Anfangsvolumen von \(3\,\text{l}\).

Zusatz: Atemzugvolumen

Das in b) berechnete Volumen \(V(2) = 3,5\,\text{l}\) stellt das maximale Volumen am Ende der Einatmungsphase dar. Die Differenz zum Startvolumen (\(3,5 - 3,0 = 0,5\,\text{l}\)) ist das sogenannte Atemzugvolumen (Tidalvolumen).