Wanted - Verschobener Sattelpunkt - Lösung

a) Mathematische Bedingungen

Die allgemeine Funktionsgleichung und ihre Ableitungen lauten:

\[\begin{aligned} f(x) &= ax^3 + bx^2 + cx + d \\\\ f'(x) &= 3ax^2 + 2bx + c \\\\ f''(x) &= 6ax + 2b \end{aligned}\]

Aus dem Aufgabentext ergeben sich folgende vier Bedingungen:

1. \(f(0) = 0\) (verläuft durch den Ursprung)
2. \(f(-1) = -\frac{1}{3}\) (Punkt des Sattelpunkts)
3. \(f'(-1) = 0\) (waagerechte Tangente im Sattelpunkt)
4. \(f''(-1) = 0\) (Wendepunkteigenschaft des Sattelpunkts)

b) Ermittlung der Funktionsgleichung

Wir setzen die Bedingungen in die Gleichungen ein:

1. \(f(0) = 0 \implies d = 0\)
2. \(f''(-1) = 0 \implies 6a(-1) + 2b = 0 \implies -6a + 2b = 0 \implies b = 3a\)
3. \(f'(-1) = 0 \implies 3a(-1)^2 + 2b(-1) + c = 0 \implies 3a - 2b + c = 0\)
4. \(f(-1) = -\frac{1}{3} \implies a(-1)^3 + b(-1)^2 + c(-1) + d = -\frac{1}{3} \implies -a + b - c = -\frac{1}{3}\)

Nutze \(b = 3a\) in Bedingung 3: $$ \begin{aligned} 3a - 2(3a) + c &= 0 \\ 3a - 6a + c &= 0 \\ -3a + c &= 0 \implies c = 3a \end{aligned} $$

Setze \(b=3a\) und \(c=3a\) in Bedingung 4 ein: $$ \begin{aligned} -a + (3a) - (3a) &= -\frac{1}{3} \\ -a &= -\frac{1}{3} \\ a &= \frac{1}{3} \end{aligned} $$

Daraus folgen: $$ \begin{aligned} b &= 3 \cdot \frac{1}{3} = 1 \\ c &= 3 \cdot \frac{1}{3} = 1 \end{aligned} $$

Die gesuchte Funktionsgleichung lautet: $$ f(x) = \frac{1}{3}x^3 + x^2 + x $$