Punktsymmetrische Funktion - Lösung

a) Mathematische Bedingungen

Da der Wendepunkt im Ursprung liegt, ist die Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung. Allgemeiner Ansatz: $$ \begin{aligned} f(x) &= ax^3 + cx \\ f'(x) &= 3ax^2 + c \end{aligned} $$

Aus dem Aufgabentext ergeben sich folgende Bedingungen: 1. Wendetangente: Die Steigung der Tangente \(y = -3x\) ist \(-3\). Da der Wendepunkt bei \(x=0\) liegt, gilt: \(f'(0) = -3\) 2. Nullstelle: Der Graph schneidet die x-Achse bei \(x=2\): \(f(2) = 0\)

b) Ermittlung der Funktionsgleichung

Schritt 1: Parameter \(c\) bestimmen Wir setzen \(x=0\) in die erste Ableitung ein: $$ \begin{aligned} f'(0) &= -3 \\ 3a(0)^2 + c &= -3 \\ c &= -3 \end{aligned} $$

Schritt 2: Parameter \(a\) bestimmen Wir nutzen die Nullstelle \(f(2) = 0\) mit dem bereits bekannten \(c = -3\): $$ \begin{aligned} f(2) &= 0 \\ a \cdot 2^3 + (-3) \cdot 2 &= 0 \\ 8a - 6 &= 0 \\ 8a &= 6 \\ a &= \frac{6}{8} = \frac{3}{4} \end{aligned} $$

Ergebnis: Die gesuchte Funktionsgleichung lautet: $$ \begin{aligned} f(x) = \frac{3}{4}x^3 - 3x \end{aligned} $$