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Rechteck unter der Parabel - Lösung

a) Maximaler Umfang

1. Zielfunktion aufstellen: $$ \begin{aligned} U(x) &= 2 \cdot (2x) + 2 \cdot (6 - x^2) \\ &= 4x + 12 - 2x^2 \\ &= -2x^2 + 4x + 12 \end{aligned} $$

2. Extremwert berechnen: Wir bilden die erste Ableitung und setzen sie null: $$ U'(x) = -4x + 4 $$ $$ -4x + 4 = 0 \quad \Longleftrightarrow\quad x = 1 $$

3. Überprüfung (Art des Extremums): $$ U''(x) = -4 $$ Da \(U''(1) = -4 < 0\) ist, liegt an der Stelle \(x = 1\) ein Maximum vor.

4. Abmessungen berechnen:

  • Breite: \(b = 2x = 2 \cdot 1 = \mathbf{2}\)
  • Höhe: \(h = 6 - 1^2 = \mathbf{5}\)
  • Maximaler Umfang: \(U(1) = 2 \cdot 2 + 2 \cdot 5 = \mathbf{14}\)

b) Maximaler Flächeninhalt

1. Zielfunktion aufstellen: $$ A(x) = (2x) \cdot (6 - x^2) = 12x - 2x^3 $$

2. Extremwert berechnen: Erste Ableitung null setzen: $$ A'(x) = 12 - 6x^2 $$ $$ 12 - 6x^2 = 0 \Longleftrightarrow x = \pm \sqrt{2} \approx \pm 1,41 $$

Geometrische Plausibilität

Aus Symmetriegründen genügt es die positive Nullstelle der ersten Ableitung zu betrachten. Die Rechnung mit der negativen Nullstelle kann für Verwirrung sorgen. Ein negativer \(x\)-Wert ist im Sachkontext (Seitenlänge) nicht sinnvoll. Rechnerisch würde dieser zu einer negativen Fläche führen und bei der Überprüfung der zweiten Ableitung ein lokales Minimum liefern.

3. Überprüfung (Art des Extremums): $$ A''(x) = -12x $$ $$ A''(\sqrt{2}) = -12\sqrt{2} < 0 \implies \text{Maximum} $$

4. Abmessungen berechnen:

  • Breite: \(b = 2 \cdot \sqrt{2} = \mathbf{2\sqrt{2}} \approx \mathbf{2,83}\)
  • Höhe: \(h = 6 - (\sqrt{2})^2 = 6 - 2 = \mathbf{4}\)
  • Maximaler Flächeninhalt: \(A(\sqrt{2}) = 2\sqrt{2} \cdot 4 = \mathbf{8\sqrt{2}} \approx \mathbf{11,31}\)

5. Randwertbetrachtung: An den Rändern des Intervalls \([0; \sqrt{6}]\) gilt:

  • \(A(0) = 0\)
  • \(A(\sqrt{6}) = 0\) Das berechnete Maximum bei \(x = \sqrt{2}\) ist somit das absolute Maximum.