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Bestimmte Integrale mit Parameter - Tipp

Um den unbekannten Parameter \(a\) zu berechnen, gehst du am besten immer nach dem gleichen Schema vor:

1. Stammfunktion bilden

Behandle den Parameter \(a\) wie eine normale Zahl (Konstante), wenn er im Funktionsterm steht. Wenn er in den Grenzen steht, bleibt er dort einfach als Variable stehen.

  • Beispiel: \(\int (3x^2 - a) \, dx = x^3 - ax\)

2. Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung (HDI)

Setze die Grenzen in die Stammfunktion ein: Obere Grenze minus Untere Grenze.

\[\int_{a}^{b} f(x) \, dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a)\]

3. Gleichung aufstellen und lösen

Nachdem du die Grenzen eingesetzt hast, erhältst du einen Term, in dem nur noch die Variable \(a\) vorkommt. Setze diesen Term mit dem Ergebniswert der Aufgabe gleich (z. B. \(= 12\)).

  • Löse die entstandene Gleichung nach \(a\) auf (durch Umformen, Ausklammern oder die p-q-Formel).

Wichtige Rechenregeln:

  • Achte bei Ausdrücken wie \(-( \dots )\) nach dem Minuszeichen der Grenze auf die Klammern (Vorzeichenwechsel!).
  • Potenzen wie \((2a)^2\) ergeben \(4a^2\).