Ableitungsgraphen zuordnen - Lösung

Die richtige Ableitungsfunktion ist Graph I.

Begründung durch Ausschluss der anderen Graphen:

• Ausschluss von Graph III:

  Zwischen den Stellen \(x = -1\) (Hochpunkt) und \(x = 1\) (Tiefpunkt) fällt der Graph der Funktion \(f\). In diesem Bereich muss die Ableitungsfunktion also negative Werte annehmen (unter der x-Achse verlaufen). Graph III verläuft in diesem Intervall jedoch oberhalb der x-Achse. Das würde bedeuten, dass die Funktion \(f\) dort steigen müsste, was nicht der Fall ist.

• Ausschluss von Graph II:

  Sowohl Graph I als auch Graph II haben die korrekten Nullstellen (bei \(x = -1\) und \(x = 1\)) und verlaufen dazwischen im negativen Bereich. Wir müssen also die Stärke des Anstiegs prüfen. Betrachtet man \(f\) an der Stelle \(x = 0\), sieht man einen deutlichen Abfall. Die Tangente hätte hier die Steigung \(-1\) (für eine Einheit nach rechts geht es genau eine Einheit nach unten).

  • Graph I zeigt bei \(x = 0\) den korrekten Wert \(-1\).
  • Graph II zeigt bei \(x = 0\) nur den Wert \(-0{,}5\). Er beschreibt also eine Funktion, die im Ursprung nur halb so steil fällt wie unser vorgegebenes \(f\).

Fazit: Nur Graph I gibt sowohl die Lage der Extrempunkte als auch das korrekte Steigungsverhalten und die exakte Steilheit von \(f\) wieder.