Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen - Tipp

Hier sind Hinweise, wie du die einzelnen Teilaufgaben dieser komplexen Analyse löst:

Schnittpunkte finden: Setze \(f(x) = g(x)\). Multipliziere die gesamte Gleichung mit dem Hauptnenner (4), um die Brüche loszuwerden. Du erhältst eine quadratische Gleichung.
Integral berechnen: Nutze das Integral der Differenzfunktion \(h(x) = g(x) - f(x)\) zwischen den gefundenen Schnittstellen. Prüfe vorher, welche Funktion im Intervall "oben" liegt.

Sekante bestimmen: Berechne die y-Werte der Schnittpunkte aus a) und stelle die Geradengleichung \(s(x) = mx + b\) durch diese zwei Punkte auf.
Teilflächen: Die Gerade teilt die Fläche in zwei Teile. Berechne das Integral zwischen der oberen Funktion (Parabel \(g\)) und der Geraden \(s\). Das Verhältnis der Teilfläche zur Restfläche (Gesamtfläche minus Teilfläche) ist das Teilungsverhältnis.

Ursprungsgerade: Eine Ursprungsgerade hat die Form \(y = mx\).
Ansatz: Fertigen Sie zunächst eine aussagekräftige Skizze an. Die Gerade muss monoton wachsend sein, da die Fläche links von der y-Achse deutlich kleiner als rechts von der y-Achse ist. Die Ursprungsgerade teilt die Fläche nun in zwei Teile. Mathematisch lässt sich fordern, dass die Fläche zwischen \(g\) und \(f\) links von der y-Achse und die Fläche zwischen \(g\) und der Ursprungsgeraden im Intervall von \(0\) bis zur Schnittstelle der Ursprungsgeraden mit \(g\) zusammen die halbe Fläche ergibt.

Streckungsfaktor: Eine Verhundertfachung des Flächeninhalts bei gleicher Form entspricht einer zentrischen Streckung.
Wichtig: Wenn die Fläche um den Faktor \(k^2 = 100\) wachsen soll, müssen die Längen (x- und y-Werte) um den Faktor \(k = 10\) gestreckt werden. Ersetze \(x\) durch \(\frac{x}{10}\) und multipliziere den gesamten Funktionsterm mit \(10\).