Ableitungsregeln I - Lösung

a) Bestimmen von \(f'(x)\)

\[ \begin{aligned} f(x) &= x^4 + 5x^3 + 4x + 1 \\\\ f'(x) &= 4x^3 + 15x^2 + 4 \end{aligned} \]

b) Bestimmen von \(f'(x)\) (mit \(\pi\))

\[ \begin{aligned} f(x) &= 0,5x^6 - \frac{1}{4}x^4 + \pi x \\\\ f'(x) &= 3x^5 - x^3 + \pi \end{aligned} \]

c) Bestimmen von \(f'(x)\) (Wurzeln)

Umschreiben: \(f(x) = x^{\frac{3}{2}} + x^{\frac{2}{3}}\) $$ \begin{aligned} f'(x) &= \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}} \\ &= \frac{3}{2}\sqrt{x} + \frac{2}{3\sqrt[3]{x}} \end{aligned} $$

d) Bestimmen von \(f'(t)\) (Hier muss nach t abgeleitet werden)

Umschreiben: \(f(t) = 3at^2 + 6t^{-1}\) $$ \begin{aligned} f'(t) &= 6at - 6t^{-2} \\ &= 6at - \frac{6}{t^2} \end{aligned} $$

e) Bestimmen von \(f'(x)\) (Brüche)

Umschreiben: \(f(x) = 2x^{-2} - 4x^{-4} + 2x^{-\frac{5}{2}}\) $$ \begin{aligned} f'(x) &= -4x^{-3} + 16x^{-5} - 5x^{-\frac{7}{2}} \\ &= -\frac{4}{x^3} + \frac{16}{x^5} - \frac{5}{\sqrt{x^7}} \end{aligned} $$

f) Bestimmen von \(f'(x)\) (Produkt)

Zuerst ausmultiplizieren: \(f(x) = 2x^5 - 8x^3\) $$ \begin{aligned} f'(x) &= 10x^4 - 24x^2 \end{aligned} $$