Grafisches Differenzieren - Lösung

a) Skizzieren der Ableitungsfunktion \(f'\)

Graph der Funktion \(f\) (schwarz) und der zugehörigen Ableitung \(f'\) (blau).

Beim Skizzieren von \(f'\) orientieren wir uns am Anstieg von \(f\): 1. Nullstellen: \(f\) hat zwei Tiefpunkte (bei \(x \approx -1,4\) und \(x \approx 3,7\)) und einen Hochpunkt (bei \(x \approx 2,3\)). An diesen drei Stellen hat \(f\) waagerechte Tangenten (Anstieg \(0\)), daher hat \(f'\) dort seine Nullstellen. 2. Vorzeichen: * Links vom ersten TP fällt \(f \implies f'\) ist im negativen Bereich. * Zwischen dem ersten TP und dem HP steigt \(f \implies f'\) ist im positiven Bereich. * Zwischen dem HP und dem zweiten TP fällt \(f \implies f'\) ist im negativen Bereich. * Rechts vom zweiten TP steigt \(f \implies f'\) ist im positiven Bereich.

b) Vergleich mit \(g(x) = f(x) + 2\)

Entscheidung: Ja, \(g\) hat dieselbe Ableitungsfunktion wie \(f\).

Begründung: Der Graph von \(g\) ist gegenüber \(f\) lediglich um \(2\) Einheiten nach oben verschoben. Die Steigung des Graphen ändert sich durch diese Verschiebung an keiner Stelle. Da die Ableitung genau diesen Anstieg beschreibt, gilt \(g'(x) = f'(x)\).

c) Skizzieren der Funktion \(F\) mit \(F' = f\)

Graph der Funktion \(f\) (schwarz) und der zugehörigen Funktion \(F\) mit \(F'=f\) (grün).

Hier ist \(f\) die "Steigungsvorgabe" für unseren Graphen \(F\): 1. Waagerechte Tangenten in \(F\): Überall dort, wo \(f\) die x-Achse schneidet (bei \(x \approx -2,7\) und \(x = 0\)), muss \(F\) einen Extrempunkt haben. 2. Verlauf: * Da \(f\) bis \(x \approx -2,7\) negativ ist, muss \(F\) bis dorthin fallen. * Da \(f\) zwischen \(x \approx -2,7\) und \(x = 0\) positiv ist, muss \(F\) dort steigen. * Da \(f\) ab \(x = 0\) wieder negativ ist (bis weit nach rechts), muss \(F\) ab dort wieder fallen. 3. Besonderheit: Da wir den Startpunkt von \(F\) nicht kennen, kann der Graph beliebig weit nach oben oder unten verschoben gezeichnet werden.