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Designervase - Lösung

Designervase Designervase

Graph der Desigernvase und schematische Darstellung der Vase in der Box.

Lösung zu a)

Bedingungen für das Gleichungssystem:

  1. \(f(0) = 2\)
  2. \(f(6) = 5\)
  3. \(f'(6) = 0\)
  4. \(f(20) = 3\)

Ergebnis der Modellierung (via CAS): $$ \begin{aligned} f(x) = \frac{43}{11760}x^3 - \frac{187}{1470}x^2 + \frac{1109}{980}x + 5 \\ f(x) \approx 0,00366x^3 - 0,12721x^2 + 1,13163x + 2 \end{aligned} $$

Lösung zu b)

1. Maße der Box: Der maximale Radius der Vase ist \(r_{max} = 8 \, \text{cm}\). Mit \(1 \, \text{cm}\) Schaumstoffschicht an jeder Seite ergibt sich für die Breite und Tiefe: $$ \begin{aligned} b = 2 \cdot (5 \, \text{cm} + 1 \, \text{cm}) = 12 \, \text{cm} \end{aligned} $$ Für die Höhe der Box addieren wir zur Vasenhöhe (\(20 \, \text{cm}\)) jeweils \(1 \, \text{cm}\) für Boden und Deckel: $$ \begin{aligned} h_{Box} = 20 + 1 + 1 = 22 \, \text{cm} \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} V_{Box} = 12 \cdot 12 \cdot 22 = \mathbf{3168 \, \text{cm}^3} \end{aligned} $$

2. Volumen des Schaumstoffs: Das Außenvolumen der Vase \(V_a\) beträgt laut CAS: $$ \begin{aligned} V_a = \pi \cdot \int_{0}^{20} (f(x))^2 \, dx \approx 901,0 \, \text{cm}^3 \end{aligned} $$ Daraus ergibt sich das Schaumstoffvolumen: $$ \begin{aligned} V_{Schaum} = 3168,00 \, \text{cm}^3 - 901,0 \, \text{cm}^3 = \mathbf{2267,0 \, \text{cm}^3} \end{aligned} $$

Lösung zu c)

1. Glasvolumen: Das Glasvolumen ergibt sich aus der Differenz von Außenvolumen und Innenvolumen (\(V_i\) auf dem Intervall \([0,5; 20]\)): $$ \begin{aligned} V_{Glas} = \pi \cdot \int_{0}^{20} (f(x))^2 \, dx - \pi \cdot \int_{0,5}^{20} (f(x)-0,5)^2 \, dx \end{aligned} $$ Laut CAS-Berechnung beträgt dieses Differenzvolumen: $$ \begin{aligned} V_{Glas} \approx 219,7 \, \text{cm}^3 \end{aligned} $$

2. Gewicht der Vase: Multiplikation mit der Dichte \(\rho = 2,5 \, \text{g/cm}^3\): $$ \begin{aligned} m = 219,7 \cdot 2,5 = 549,3 \, \text{g} \end{aligned} $$ Die leere Vase wiegt somit ca. \(550 \, \text{kg}\).

Hinweis zur Rechengenauigkeit

Verwenden Sie im CAS immer die exakten Brüche oder die im System gespeicherten Variablen. Bereits kleinste Rundungen bei den Koeffizienten können zu Abweichungen führen.