Kugelstoßen - Lösung

a) Modellierung der Flugkurve

Wir nutzen den Ansatz $f(x) = ax^2 + bx + c$ und die Ableitung $f'(x) = 2ax + b$.

Mathematische Bedingungen: $$ \begin{aligned} \text{I. } & f(0) = 1,5 &&\implies c = 1,5 \\ \text{II. } & f(19,5) = 0 &&\implies a(19,5)^2 + b(19,5) + 1,5 = 0 \\ \text{III. } & f'(19,5) = \tan(-30^\circ) &&\implies 2a(19,5) + b = -\tan(30^\circ) \end{aligned} $$

Ergebnis der Parameter (auf 4 Dezimalstellen gerundet): Basierend auf der CAS-Berechnung ergeben sich folgende Werte:

$a = -0,0257$
$b = 0,4235$
$c = 1,5000$

Funktionsgleichung: $$ \begin{aligned} f(x) = -0,0257x^2 + 0,4235x + 1,5 \end{aligned} $$

b) Maximale Flughöhe und Abstoßwinkel

1. Maximale Flughöhe: Zuerst bestimmen wir die Stelle des Maximums ($f'(x) = 0$): $$ \begin{aligned} 2 \cdot (-0,0257)x + 0,4235 &= 0 \\ -0,0514x &= -0,4235 \\ x &\approx 8,2393 \end{aligned} $$

Die maximale Höhe berechnet sich durch Einsetzen der Stelle $x$ in die Funktion $f(x)$: $$ \begin{aligned} f(8,2393) &= -0,0257(8,2393)^2 + 0,4235(8,2393) + 1,5 \\ f(8,2393) &\approx 3,2446 \end{aligned} $$ Die maximale Flughöhe der Kugel beträgt ca. 3,2446 m.

2. Abstoßwinkel: Der Abstoßwinkel $\alpha$ entspricht dem Steigungswinkel der Tangente am Startpunkt ($x = 0$): $$ \begin{aligned} f'(0) &= b = 0,4235 \\ \alpha &= \arctan(0,4235) \\ \alpha &\approx 22,9513^\circ \end{aligned} $$ Der Abstoßwinkel beträgt ca. 22,9513°.