Schnittwinkel - Lösung

a) Bestimmen des Parameters \(a\)

Punkt \(B(a|4)\) in \(f(x) = 3x + 1\) einsetzen: $$ \begin{aligned} 4 &= 3 \cdot a + 1 \\ 3 &= 3a \\ a &= 1 \end{aligned} $$ Der Punkt lautet somit \(B(1|4)\).

b) Geradengleichung aufstellen

Steigung \(m_g\) mit \(A(-1|2)\) und \(B(1|4)\) berechnen: $$ \begin{aligned} m_g &= \frac{4 - 2}{1 - (-1)} \\ m_g &= \frac{2}{2} \\ m_g &= 1 \end{aligned} $$ Punkt \(B(1|4)\) in \(g(x) = 1 \cdot x + n\) einsetzen: $$ \begin{aligned} 4 &= 1 \cdot 1 + n \\ n &= 3 \end{aligned} $$ Die Geradengleichung lautet \(g(x) = x + 3\).

c) Schnittwinkel berechnen

Berechnung der Steigungswinkel \(\beta_f\) (für \(m_f = 3\)) und \(\beta_g\) (für \(m_g = 1\)): $$ \begin{aligned} \beta_f &= \arctan(3) \approx 71,57^\circ \\ \beta_g &= \arctan(1) = 45^\circ \end{aligned} $$ Berechnung des Schnittwinkels \(\alpha\): $$ \begin{aligned} \alpha &= |\beta_f - \beta_g| \\ \alpha &= |71,57^\circ - 45^\circ| \\ \alpha &= 26,57^\circ \end{aligned} $$ Der Schnittwinkel der beiden Geraden beträgt ca. \(26,57^\circ\).