Normannisches Fenster - Lösung

1. Aufstellen der Gleichungen

Nebenbedingung (Fläche): Die Fläche ist konstant \(A = 4\,\rm m^2\). $$ 4 = d \cdot h + \frac{1}{2} \pi \left(\frac{d}{2}\right)^2 = d \cdot h + \frac{\pi}{8}d^2 $$ Umgestellt nach \(h\): $$ h = \frac{4 - \frac{\pi}{8}d^2}{d} = \frac{4}{d} - \frac{\pi}{8}d $$

Zielfunktion (Rahmenlänge): Minimiert werden soll die äußere Rahmenlänge \(L\): $$ L(d, h) = d + 2h + \frac{\pi}{2}d $$ Einsetzen von \(h\): $$ \begin{aligned} L(d) &= d + 2\left(\frac{4}{d} - \frac{\pi}{8}d\right) + \frac{\pi}{2}d \\ &= d + \frac{8}{d} - \frac{\pi}{4}d + \frac{\pi}{2}d \\ &= \frac{8}{d} + d \left(1 + \frac{\pi}{4}\right) \end{aligned} $$

2. Extremwertberechnung

Ableitung nach \(d\) bilden: $$ L'(d) = -\frac{8}{d^2} + 1 + \frac{\pi}{4} $$ Setze \(L'(d) = 0\): $$ \frac{8}{d^2} = 1 + \frac{\pi}{4} $$ $$ d^2 = \frac{8}{1 + \frac{\pi}{4}} \approx 4,482 $$ $$ d \approx \sqrt{4,482} \approx 2,117\,\rm m $$

3. Berechnung der Höhe \(h\)

Setze \(d \approx 2,117\) in die Formel für \(h\) ein: $$ h = \frac{4}{2,117} - \frac{\pi}{8} \cdot 2,117 \approx 1,058\,\rm m $$

4. Ergebnis

Damit die Rahmenlänge bei einer Fläche von \(4\,\rm m^2\) minimal wird, müssen die Maße wie folgt gewählt werden:

• Breite \(d \approx 2,12\,\rm m\)
• Höhe \(h \approx 1,06\,\rm m\)

Interessanterweise gilt beim Optimum \(h = \frac{d}{2}\). Das bedeutet, der rechteckige Teil des Fensters ist genau halb so hoch wie breit, womit die Gesamthöhe des Fensters gleich seiner Breite ist.