Zum Inhalt

Pyramidenvolumen mit Parameter - Lösung

a) Nachweis des Parallelogramms

Wir bestimmen die Gegenvektoren \(\vec{AB}\) und \(\vec{DC}\): $$ \vec{AB} = \begin{pmatrix} 3 - 1 \\ 4 - 2 \\ 4 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \vec{DC} = \begin{pmatrix} 5 - 3 \\ 3 - 1 \\ 2 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} $$ Da \(\vec{AB} = \vec{DC}\) gilt, sind die gegenüberliegenden Seiten parallel und gleich lang. Das Viereck \(ABCD\) ist somit ein Parallelogramm.

b) Volumenbestimmung in Abhängigkeit von \(t\)

  1. Kreuzprodukt der Grundflächevektoren (\(\vec{AB} \times \vec{AD}\)): $$ \vec{AD} = \begin{pmatrix} 3 - 1 \\ 1 - 2 \\ 1 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} $$ $$ \vec{AB} \times \vec{AD} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot (-2) - 1 \cdot (-1) \\ 1 \cdot 2 - 2 \cdot (-2) \\ 2 \cdot (-1) - 2 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 6 \\ -6 \end{pmatrix} $$

  2. Kantenvektor zur Spitze (\(\vec{AS_t}\)): $$ \vec{AS_t} = \begin{pmatrix} t - 1 \\ 6 - 2 \\ 8 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t - 1 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} $$

  3. Spatprodukt und Pyramidenvolumen: $$ (\vec{AB} \times \vec{AD}) \cdot \vec{AS_t} = \begin{pmatrix} -3 \\ 6 \\ -6 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} t - 1 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} = -3t - 3 $$ Eingesetzt in die Volumenformel: $$ V(t) = \frac{1}{3} \cdot |-3t - 3| = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot |-t - 1| = \mathbf{|t + 1|} $$

c) Bestimmung von \(t\) für \(V = 5\text{ VE}\)

Wir lösen die Betragsgleichung \(|t + 1| = 5\):

  • Fall 1: \(t + 1 = 5 \implies \mathbf{t_1 = 4}\)
  • Fall 2: \(t + 1 = -5 \implies \mathbf{t_2 = -6}\)

Für die Parameterwerte \(t = 4\) und \(t = -6\) besitzt die Pyramide ein Volumen von genau \(5\text{ VE}\).

d) Sonderfall \(V = 0\text{ VE}\)

Das Volumen wird Null, falls: $$ \begin{aligned} |t + 1| = 0 \implies \mathbf{t = -1} \end{aligned} $$

Geometrische Bedeutung:

  • Für \(t = -1\) liegt die Pyramidenspitze \(S_{-1}(-1|6|8)\) direkt in der Ebene der Grundfläche \(ABCD\). Es existiert kein dreidimensionaler Körper mehr.
  • Die drei aufspannenden Vektoren \(\vec{AB}\), \(\vec{AD}\) und \(\vec{AS_{-1}}\) liegen in einer gemeinsamen Ebene. Sie sind linear abhängig bzw. komplanar.

e) Untersuchung auf eine gerade Pyramide

Eine Pyramide ist gerade, wenn der Vektor von der Mitte der Grundfläche zur Spitze (\(\vec{MS_t}\)) parallel zum Normalenvektor der Ebene (Vektor senkrecht zur Grundfläche) verläuft.

  1. Mittelpunkt \(M\) der Grundfläche: $$ \vec{OM} = \frac{1}{2} \cdot (\vec{OA} + \vec{OC}) = \frac{1}{2} \cdot \left[ \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix} \right] = \begin{pmatrix} 3 \\ 2{,}5 \\ 2{,}5 \end{pmatrix} $$

  2. Vektor von \(M\) zur Spitze \(S_t\): $$ \vec{MS_t} = \vec{OS_t} - \vec{OM} = \begin{pmatrix} t \\ 6 \\ 8 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ 2{,}5 \\ 2{,}5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t - 3 \\ 3{,}5 \\ 5{,}5 \end{pmatrix} $$

  3. Prüfung auf Kollinearität mit dem vereinfachten Normalenvektor \(\vec{n}_0 = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}\): $$ \begin{pmatrix} t - 3 \\ 3{,}5 \\ 5{,}5 \end{pmatrix} = k \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} $$

Daraus ergibt sich das lineare Gleichungssystem:

  • (I) \(t - 3 = -1k\)
  • (II) \(3{,}5 = 2k \implies k = 1{,}75\)
  • (III) \(5{,}5 = -2k \implies k = -2{,}75\)

Fazit: Aus den Gleichungen (II) und (III) folgt ein Widerspruch (\(1{,}75 \neq -2{,}75\)). Es gibt somit keinen Wert für den Parameter \(t\), der die Pyramide zu einer geraden Pyramide macht. Die Pyramide bleibt für alle \(t \in \mathbb{R}\) schief.