Paarweise orthogonale Vektoren - Lösung
a) Bestimmen von \(a\) und \(b\)
Drei Vektoren sind paarweise orthogonal oder senkrecht zueinander, wenn alle drei möglichen Skalarprodukte gleich \(0\) sind. Wir stellen die entsprechenden Gleichungen auf:
Wir berechnen die Skalarprodukte im Einzelnen:
Aus Gleichung (I): $$ \begin{aligned} \begin{pmatrix} a \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ b \\ -2 \end{pmatrix} &= 0 \\ a \cdot 0 + 4 \cdot b + 4 \cdot (-2) &= 0 \\ b &= 2 \end{aligned} $$
Wir setzen \(b = 2\) in Gleichung (II) ein: $$ \begin{aligned} \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2a \\ 0 \end{pmatrix} &= 0 \\ 0 \cdot 2 + 2 \cdot 2a + (-2) \cdot 0 &= 0 \\ a &= 0 \end{aligned} $$
Zuletzt überprüfen wir das Ergebnis mit Gleichung (III) für \(a = 0\) und \(b = 2\): $$ \begin{aligned} \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} &= 0 \\ 0 \cdot 2 + 4 \cdot 0 + 4 \cdot 0 &= 0 \\ 0 &= 0 \end{aligned} $$
Die Überprüfung ist erfolgreich. Die gesuchten Parameter sind \(a = 0\) und \(b = 2\).
b) Bestimmen von \(a\) und \(b\)
Wir stellen wieder die drei Bedingungen für die Skalarprodukte auf:
Wir beginnen mit Gleichung (I), da diese nur den Parameter \(a\) enthält: $$ \begin{aligned} \begin{pmatrix} a \\ 3a \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} &= 0 \\ a \cdot a + 3a \cdot 1 + 1 \cdot 0 &= 0 \\ a^2 + 3a &= 0 \\ a(a + 3) &= 0 \end{aligned} $$
Hieraus ergeben sich zwei Fälle (Satz vom Nullprodukt): \(a_1 = 0\) oder \(a_2 = -3\). Wir müssen beide Fälle separat untersuchen.
Fall 1: \(a = 0\)
Wir setzen \(a = 0\) in die Vektoren ein und nutzen Gleichung (II): $$ \begin{aligned} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ b \end{pmatrix} &= 0 \\ 0 \cdot (-1) + 0 \cdot 0 + 1 \cdot b &= 0 \\ b &= 0 \end{aligned} $$
Wir prüfen Fall 1 mit Gleichung (III) für \(a = 0\) und \(b = 0\): $$ \begin{aligned} \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} &= 0 \\ (-1) \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 0 \cdot 0 &= 0 \\ 0 &= 0 \end{aligned} $$
Die erste Lösungskombination lautet somit: \(a = 0\) und \(b = 0\).
Fall 2: \(a = -3\)
Wir setzen \(a = -3\) in die Vektoren ein und nutzen Gleichung (II): $$ \begin{aligned} \begin{pmatrix} -3 \\ -9 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -3 \\ b \end{pmatrix} &= 0 \\ (-3) \cdot (-1) + (-9) \cdot (-3) + 1 \cdot b &= 0 \\ 3 + 27 + b &= 0 \\ b &= -30 \end{aligned} $$
Wir prüfen Fall 2 mit Gleichung (III) für \(a = -3\) und \(b = -30\): $$ \begin{aligned} \begin{pmatrix} -1 \\ -3 \\ -30 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} &= 0 \\ (-1) \cdot (-3) + (-3) \cdot 1 + (-30) \cdot 0 &= 0 \\ 0 &= 0 \end{aligned} $$
Die zweite Lösungskombination lautet somit: \(a = -3\) und \(b = -30\).