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Lotfußpunkt im Dreieck - Lösung

a) Bestimmung des Lotfußpunktes \(H\) via Projektion

Zuerst bestimmen wir die benötigten Vektoren: $$ \vec{AB} = \begin{pmatrix} 7 - 1 \\ 5 - (-1) \\ 5 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ 3 \end{pmatrix}, \quad \vec{AC} = \begin{pmatrix} 2 - 1 \\ 3 - (-1) \\ 1 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -1 \end{pmatrix} $$

Jetzt berechnen wir die Bestandteile für die Projektionsformel:

  • Skalarprodukt: \(\vec{AC} \cdot \vec{AB} = 1 \cdot 6 + 4 \cdot 6 + (-1) \cdot 3 = 27\)
  • Quadrat der Länge: \(|\vec{AB}|^2 = 6^2 + 6^2 + 3^2 = 81\)

Daraus ergibt sich der Vektor \(\vec{AH}\): $$ \vec{AH} = \frac{\vec{AC} \cdot \vec{AB}}{|\vec{AB}|^2} \cdot \vec{AB} = \frac{27}{81} \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} $$

Den Ortsvektor des Lotfußpunktes \(H\) erhalten wir durch Addition zu \(A\): $$ \vec{OH} = \vec{OA} + \vec{AH} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} \implies \mathbf{H(3 \mid 1 \mid 3)} $$

b) Längen und Flächeninhalt des Dreiecks

Länge der Grundseite \(c = |\vec{AB}|\): $$ |\vec{AB}| = \sqrt{81} = 9\text{ LE} $$

Länge der Höhe \(h_c = |\vec{CH}|\): Zuerst bestimmen wir den Höhenvektor \(\vec{CH}\): $$ \vec{CH} = \vec{OH} - \vec{OC} = \begin{pmatrix} 3 - 2 \\ 1 - 3 \\ 3 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} $$ Nun berechnen wir dessen Betrag: $$ |\vec{CH}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = 3\text{ LE} $$

Berechnung des Flächeninhalts: $$ A_{\Delta} = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot |\vec{AB}| \cdot |\vec{CH}| = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 3 = \mathbf{13{,}5\text{ FE}} $$

c) Berechnung der Innenwinkel

Winkel \(\alpha\) (bei Punkt \(A\)): Aufgespannt von \(\vec{AB}\) und \(\vec{AC}\). Länge von \(|\vec{AC}| = \sqrt{1^2 + 4^2 + (-1)^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\). $$ \cos(\alpha) = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|} = \frac{27}{9 \cdot 3\sqrt{2}} = \frac{27}{27\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \implies \mathbf{\alpha = 45^\circ} $$

Winkel \(\beta\) (bei Punkt \(B\)): Aufgespannt von \(\vec{BA} = \begin{pmatrix} -6 \\ -6 \\ -3 \end{pmatrix}\) und \(\vec{BC} = \begin{pmatrix} -5 \\ -2 \\ -4 \end{pmatrix}\). Länge von \(|\vec{BC}| = \sqrt{25 + 4 + 16} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}\). $$ \cos(\beta) = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BA}| \cdot |\vec{BC}|} = \frac{30 + 12 + 12}{27\sqrt{5}} = \approx 0{,}8944 \implies \mathbf{\beta \approx 26{,}57^\circ} $$

Winkel \(\gamma\) (bei Punkt \(C\)): Über die Innenwinkelsumme: $$ \gamma = 180^\circ - 45^\circ - 26{,}57^\circ = \mathbf{108{,}43^\circ} $$