Kurz und knapp - Tipp

Zu Teilaufgabe a)

Erinnere dich an die geometrische Definition des Skalarprodukts: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)$. Überlege, welche Werte der Kosinus für spitze, rechte und stumpfe Winkel annimmt.

Zu Teilaufgabe b)

Welchen Winkel schließt ein Vektor mit sich selbst ein? Überlege, was das für die geometrische Interpretation als Flächeninhalt eines aufgespannten Parallelogramms bedeutet.

Zu Teilaufgabe c)

Versuche, dir die Situation im Raum vorzustellen: Wenn zwei Linien auf dem Boden liegen, stehen sie beide senkrecht auf einer senkrechten Wandsäule. Müssen die beiden Linien auf dem Boden deshalb auch senkrecht zueinander sein? Finde ein einfaches Gegenbeispiel mit den Standard-Basisvektoren (Koordinatenachsen).

Zu Teilaufgabe d)

Betrachte die einzelnen Koordinaten $(x|y|z)$ des Punktes $P(0|5|0)$. Wenn zwei der drei Koordinaten den Wert $0$ haben, liegt der Punkt auf einer ganz bestimmten Achse. Welche Ebenen schneiden sich in dieser Achse?

Zu Teilaufgabe e)

Assoziativgesetz prüfen: Um zu zeigen, dass eine mathematische Struktur nicht assoziativ ist, genügt ein einziges Gegenbeispiel, bei dem die beiden unterschiedlichen Klammerungen zu verschiedenen Ergebnissen führen.
Tipp für das Gegenbeispiel: Nutze die einfachsten Vektoren des dreidimensionalen Raums – die Standard-Basisvektoren der Koordinatenachsen: $$ \vec{e}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \vec{e}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \vec{e}_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$ Erinnere dich daran, wie diese orthogonalen Einheitsvektoren über das Kreuzprodukt miteinander verknüpft sind (z. B. $\vec{e}_1 \times \vec{e}_2 = \vec{e}_3$ und $\vec{e}_1 \times \vec{e}_1 = \vec{0}$). Setze für $\vec{a}$, $\vec{b}$ und $\vec{c}$ geschickt diese Basisvektoren ein und berechne beide Seiten separat.