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Kurz und knapp - Lösung

a) Interpretation des positiven Skalarprodukts

Aus einem Skalarprodukt größer als \(0\) kann geschlussfolgert werden, dass die beiden Vektoren einen spitzen Winkel einschließen (\(0^\circ \le \alpha < 90^\circ\)).

Begründung: Die geometrische Formel für das Skalarprodukt lautet: $$ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha) $$ Da die Beträge \(|\vec{a}|\) und \(|\vec{b}|\) für Nicht-Nullvektoren stets positiv sind, hängt das Vorzeichen des Skalarprodukts allein vom Kosinus des eingeschlossenen Winkels \(\alpha\) ab. Da \(\vec{a} \cdot \vec{b} > 0\) gilt, muss auch \(\cos(\alpha) > 0\) sein. Im für Vektoren relevanten Intervall \([0^\circ; 180^\circ]\) ist der Kosinus genau dann positiv, wenn der Winkel kleiner als \(90^\circ\) ist.

b) Kreuzprodukt eines Vektors mit sich selbst

Das Kreuzprodukt eines Vektors mit sich selbst ergibt immer den Nullvektor: $$ \vec{a} \times \vec{a} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \vec{0} $$

Interpretation:

Das Kreuzprodukt beschreibt den Flächeninhalt des Parallelogramms, das von zwei Vektoren aufgespannt wird. Ein Vektor und er selbst können kein Parallelogramm aufspannen (der Flächeninhalt ist \(0\)).

c) Orthogonalität von Folgevektoren

Nein, daraus folgt im Allgemeinen nicht, dass \(\vec{b} \cdot \vec{c} = 0\) ist.

Begründung (Gegenbeispiel): Wir wählen als Vektor \(\vec{a}\) die gegebene \(z\)-Achse und für \(\vec{b}\) und \(\vec{c}\) zweimal den gleichen Vektor auf der \(x\)-Achse: $$ \vec{a} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \vec{c} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$ Es gilt: $$ \begin{aligned} \vec{a} \cdot \vec{b} &= 0 \cdot 1 + 0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 = 0 \quad (\vec{a} \perp \vec{b}) \\ \vec{a} \cdot \vec{c} &= 0 \cdot 1 + 0 \cdot 0 + 1 \cdot 0 = 0 \quad (\vec{a} \perp \vec{c}) \end{aligned} $$ Berechnet man nun jedoch \(\vec{b} \cdot \vec{c}\), erhält man: $$ \vec{b} \cdot \vec{c} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 = 1 \neq 0 $$ Zwei Vektoren, die senkrecht auf einem dritten Vektor stehen, können im dreidimensionalen Raum parallel zueinander liegen oder jeden beliebigen anderen Winkel zueinander einnehmen.

d) Lage des Punktes \(P(0|5|0)\)

  • Koordinatenachsen: Der Punkt \(P\) liegt exakt auf der \(y\)-Achse (bzw. \(x_2\)-Achse) im Abstand von 5 Einheiten vom Ursprung.
  • Koordinatenebenen: Da die \(x\)- und die \(z\)-Koordinate gleich \(0\) sind, liegt der Punkt gleichzeitig auf folgenden zwei Ebenen:
    • in der \(xy\)-Ebene (\(x_1x_2\)-Ebene)
    • in der \(yz\)-Ebene (\(x_2x_3\)-Ebene)

e) Fehlende Assoziativität des Kreuzprodukts

Nein, das Assoziativgesetz gilt für das Kreuzprodukt im Allgemeinen nicht.

Begründung (Gegenbeispiel): Wir wählen als Vektoren die Standard-Basisvektoren der Koordinatenachsen: $$ \vec{a} = \vec{e}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \vec{b} = \vec{e}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \vec{c} = \vec{e}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} $$

Nun berechnen wir beide Seiten der vermeintlichen Gleichung getrennt voneinander:

  1. Linke Seite: \((\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}\) Zuerst berechnen wir die Klammer \((\vec{e}_1 \times \vec{e}_1)\). Da das Kreuzprodukt eines Vektors mit sich selbst den Nullvektor ergibt (siehe Teilaufgabe b), gilt: $$ \vec{e}_1 \times \vec{e}_1 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \vec{0} $$ Das Gesamtergebnis der linken Seite lautet somit: $$ (\vec{e}_1 \times \vec{e}_1) \times \vec{e}_2 = \vec{0} \times \vec{e}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$

  2. Rechte Seite: \(\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c})\) Zuerst berechnen wir die Klammer \((\vec{e}_1 \times \vec{e}_2)\). Das Kreuzprodukt der ersten beiden Basisvektoren ergibt den dritten Basisvektor: $$ \vec{e}_1 \times \vec{e}_2 = \vec{e}_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$ Nun bilden wir das Kreuzprodukt von \(\vec{e}_1\) mit diesem Ergebnis: $$ \vec{e}_1 \times \vec{e}_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \cdot 1 - 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 - 1 \cdot 1 \\ 1 \cdot 0 - 0 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} = -\vec{e}_2 $$

Vergleich der Ergebnisse: Da die linke Seite den Nullvektor \(\vec{0}\) liefert, die rechte Seite jedoch den Vektor \(-\vec{e}_2\), gilt: $$ \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \implies (\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} \neq \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) $$ Damit ist bewiesen, dass das Kreuzprodukt nicht assoziativ ist.