Flächen und Volumen - Tipp

Punkt \(D\) berechnen: In einem Parallelogramm \(ABCD\) sind die gegenüberliegenden Seitenvektoren gleich lang und parallel. Es gilt also \(\vec{AD} = \vec{BC}\) bzw. als Ortsvektor ausgedrückt: \(\vec{OD} = \vec{OA} + \vec{BC}\).
Flächeninhalt: Der Flächeninhalt eines von zwei Vektoren aufgespannten Parallelogramms entspricht exakt dem Betrag (der Länge) ihres Kreuzprodukts (Vektorprodukts): \(A_{\text{Para}} = |\vec{AB} \times \vec{BC}|\).

Überlege, in welchem geometrischen Verhältnis die Dreiecke \(ABC\) und \(ABD\) zum gesamten Parallelogramm \(ABCD\) stehen. Eine Skizze oder das Wissen über die Diagonalen im Parallelogramm hilft hier direkt weiter, ohne dass du neu rechnen musst.

Gesucht ist ein Normalenvektor der Ebene, in der das Parallelogramm liegt. Das Kreuzprodukt zweier Vektoren liefert immer einen Vektor, der senkrecht auf beiden Ausgangsvektoren steht. Du kannst das Ergebnis aus Teilaufgabe 1) nutzen und optional durch einen gemeinsamen Teiler vereinfachen.

Höhe \(h\) bestimmen: Nutze die Volumenformel der Pyramide \(V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h\). Da das Volumen \(V = 8\) und die Grundfläche \(G\) aus Teilaufgabe 1) bekannt sind, kannst du die Gleichung nach der Höhe \(h\) umstellen.
Punkte für \(S\) berechnen: Der Lotfußpunkt ist der Diagonalenmittelpunkt \(M\). Berechne zuerst \(M\) über die Mittelpunktsformel von \(A\) und \(C\). Die Spitze \(S\) liegt nun im Abstand \(h\) orthogonal über (oder unter) diesem Mittelpunkt. Nutze dafür den normierten Normalenvektor (Länge 1) aus Teilaufgabe 3) und multipliziere ihn mit der Höhe \(h\).