Flächen und Volumen - Lösung

1) Berechnung von D und des Flächeninhalts des Parallelogramms

Berechnung des Punktes $D$: Da die Punkte $A$, $B$, $C$ und $D$ ein Parallelogramm in dieser Reihenfolge bilden, muss der Vektor $\vec{AD}$ gleich dem Vektor $\vec{BC}$ sein.

Zuerst bestimmen wir den Verbindungsvektor $\vec{BC}$: $$ \vec{BC} = \vec{OC} - \vec{OB} = \begin{pmatrix} 3 - 3 \\ 1 - 4 \\ 0 - (-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 3 \end{pmatrix} $$

Diesen hängen wir an den Ortsvektor von $A$ an, um zu $D$ zu gelangen: $$ \vec{OD} = \vec{OA} + \vec{BC} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -5 \\ 6 \end{pmatrix} $$ Der gesuchte Punkt lautet somit $D(1|-5|6)$.

Berechnung des Flächeninhalts: Der Flächeninhalt des Parallelogramms entspricht dem Betrag des Kreuzprodukts der aufspannenden Vektoren $\vec{AB}$ und $\vec{BC}$.

Wir bestimmen $\vec{AB}$: $$ \vec{AB} = \begin{pmatrix} 3 - 1 \\ 4 - (-2) \\ -3 - 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ -6 \end{pmatrix} $$

Nun bilden wir das Kreuzprodukt $\vec{AB} \times \vec{BC}$: $$ \vec{AB} \times \vec{BC} = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ -6 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ -3 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \cdot 3 - (-6) \cdot (-3) \\ (-6) \cdot 0 - 2 \cdot 3 \\ 2 \cdot (-3) - 6 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 18 - 18 \\ -6 \\ -6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -6 \\ -6 \end{pmatrix} $$

Der Flächeninhalt $A_{\text{Para}}$ ist der Betrag dieses Vektors: $$ A_{\text{Para}} = \sqrt{0^2 + (-6)^2 + (-6)^2} = \sqrt{0 + 36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \approx 8{,}49\text{ FE} $$ Der Flächeninhalt des Parallelogramms beträgt $6\sqrt{2}\text{ FE}$ (ca. $8{,}49\text{ Flächeneinheiten}$).

2) Flächeninhalt der Dreiecke ABC und ABD

Jede Diagonale teilt ein Parallelogramm in zwei flächengleiche Dreiecke.

Das Dreieck $ABC$ entsteht durch die Halbierung des Parallelogramms entlang der Diagonale $AC$.
Das Dreieck $ABD$ entsteht durch die Halbierung des Parallelogramms entlang der Diagonale $BD$.

Daraus folgt direkt ohne weiteren Rechenaufwand: $$ A_{ABC} = A_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot A_{\text{Para}} = \frac{1}{2} \cdot 6\sqrt{2} = 3\sqrt{2} \approx 4{,}24\text{ FE} $$ Beide Dreiecke besitzen einen Flächeninhalt von $3\sqrt{2}\text{ FE}$ (ca. $4{,}24\text{ Flächeneinheiten}$).

3) Vektor senkrecht zu allen Seiten des Parallelogramms

Ein Vektor steht senkrecht auf allen Seiten des Parallelogramms, wenn er senkrecht auf der aufgespannten Ebene steht (Normalenvektor). Das in Teilaufgabe 1 berechnete Kreuzprodukt erfüllt genau diese Eigenschaft: $$ \vec{n} = \begin{pmatrix} 0 \\ -6 \\ -6 \end{pmatrix} $$ Für die spätere Weiterarbeit ist es mathematisch und rechnerisch am elegantesten, hieraus direkt den Normaleneinheitsvektor $\vec{n}_0$ (einen Normalenvektor mit der Länge 1) zu bestimmen.

Dazu kürzen wir den Vektor zunächst durch $-6$: $$ \vec{n} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} $$ Die Länge dieses Vektors beträgt $|\vec{n}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$. Durch Division des Vektors durch seine Länge erhalten wir den Normaleneinheitsvektor: $$ \vec{n}_0 = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} $$

4) Bestimmung der Pyramidenspitze S und Anzahl der Punkte

Schritt 1: Höhe $h$ berechnen Die Volumenformel einer Pyramide lautet: $$ V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h $$ Mit dem gegebenen Volumen $V = 8\text{ VE}$ und der Grundfläche $G = 6\sqrt{2}\text{ FE}$ setzen wir an: $$ 8 = \frac{1}{3} \cdot 6\sqrt{2} \cdot h \implies 8 = 2\sqrt{2} \cdot h \implies h = \frac{8}{2\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \approx 2{,}83\text{ LE} $$

Schritt 2: Diagonalenmittelpunkt $M$ (Lotfußpunkt) berechnen Der Mittelpunkt der Diagonalen liegt genau in der Mitte der Strecke $AC$: $$ \begin{aligned} \vec{OM} &= \frac{1}{2} \cdot (\vec{OA} + \vec{OC}) \\ &= \frac{1}{2} \cdot \left[ \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \right] \\ &= \begin{pmatrix} 2 \\ -0{,}5 \\ 1{,}5 \end{pmatrix} \end{aligned} $$

Schritt 3: Spitze $S$ bestimmen Wir nutzen den in Teilaufgabe 3 vorbereiteten Normaleneinheitsvektor $\vec{n}_0$. Da dieser exakt die Länge 1 besitzt, können wir die Höhe $h = 2\sqrt{2}$ direkt als Skalar multiplizieren und vom Mittelpunkt $M$ aus in beide Richtungen abtragen: $$ \begin{aligned} \vec{OS} &= \vec{OM} \pm h \cdot \vec{n}_0 \\ &= \begin{pmatrix} 2 \\ -0{,}5 \\ 1{,}5 \end{pmatrix} \pm 2\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 2 \\ -0{,}5 \\ 1{,}5 \end{pmatrix} \pm 2 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{aligned} $$

Daraus ergeben sich die zwei möglichen Punkte für die Spitze: $$ \vec{OS}_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ -0{,}5 \\ 1{,}5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1{,}5 \\ 3{,}5 \end{pmatrix} \implies S_1(2 \mid 1{,}5 \mid 3{,}5) $$ $$ \vec{OS}_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ -0{,}5 \\ 1{,}5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2{,}5 \\ -0{,}5 \end{pmatrix} \implies S_2(2 \mid -2{,}5 \mid -0{,}5) $$

Anzahl solcher Punkte: Es gibt exakt zwei solcher Punkte, da man die errechnete Höhe senkrecht zur Grundfläche sowohl in die eine Richtung („nach oben“) als auch in die entgegengesetzte Richtung („nach unten“) abtragen kann.