Rund ums Dreieck - Lösung

a) Nachweis der Dreieckseigenschaften und Berechnung des Mittelpunkts

Wir bestimmen zunächst die Verbindungsvektoren zwischen den Punkten $A$, $B$ und $C$: $$ \begin{aligned} \vec{AB} &= \begin{pmatrix} -3 - 4 \\ 5 - 7 \\ 6 - (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7 \\ -2 \\ 8 \end{pmatrix} \\ \vec{BC} &= \begin{pmatrix} 1 - (-3) \\ -5 - 5 \\ 7 - 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -10 \\ 1 \end{pmatrix} \\ \vec{AC} &= \begin{pmatrix} 1 - 4 \\ -5 - 7 \\ 7 - (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -12 \\ 9 \end{pmatrix} \end{aligned} $$ Da $\vec{AB}$ kein Vielfaches von $\vec{AC}$ bzw. $\vec{BC}$ ist, liegen die Punkte nicht auf einer gemeinsamen Geraden und bilden somit ein Dreieck.

Für den Nachweis der Rechtwinkligkeit prüfen wir das Skalarprodukt von $\vec{BA}$ und $\vec{BC}$: $$ \begin{aligned} \vec{BA} \cdot \vec{BC} &= \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \\ -8 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -10 \\ 1 \end{pmatrix} \\ &= 7 \cdot 4 + 2 \cdot (-10) + (-8) \cdot 1 \\ &= 0 \end{aligned} $$ Da das Skalarprodukt gleich $0$ ist, stehen die Seiten $AB$ und $BC$ senklecht aufeinander. Der rechte Winkel liegt am Eckpunkt $B$. Die gegenüberliegende side $AC$ ist somit die Hypotenuse.

Jetzt prüfen wir die Längen der beiden Katheten auf Gleichschenkligkeit: $$ \begin{aligned} |\vec{AB}| &= \sqrt{(-7)^2 + (-2)^2 + 8^2} = \sqrt{117} \\ |\vec{BC}| &= \sqrt{4^2 + (-10)^2 + 1^2} = \sqrt{117} \end{aligned} $$ Wegen $|\vec{AB}| = |\vec{BC}|$ ist das Dreieck gleichschenklig.

Nun berechnen wir den Mittelpunkt $M$ der Hypotenuse $AC$: $$ \begin{aligned} \vec{OM} &= \frac{1}{2} \cdot (\vec{OA} + \vec{OC}) \\ &= \frac{1}{2} \cdot \left[ \begin{pmatrix} 4 \\ 7 \\ -2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ -5 \\ 7 \end{pmatrix} \right] \\ &= \frac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{5}{2} \\ 1 \\ \frac{5}{2} \end{pmatrix} \end{aligned} $$ Der Mittelpunkt der Hypotenuse lautet somit $M\left(\frac{5}{2} \middle| 1 \middle| \frac{5}{2}\right)$.

b) Bestimmen des Punktes M und seine geometrische Bedeutung

Nach dem Satz des Thales im Raum (Thaleskreis-Analogon) ist der Mittelpunkt der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks stets der Mittelpunkt des Umkreises. Dieser Punkt hat zu allen drei Ecken $A$, $B$ und $C$ denselben Abstand.

Der in Teilaufgabe a) berechnete Punkt $M\left(\frac{5}{2} \middle| 1 \middle| \frac{5}{2}\right)$ besitzt exakt die geforderte $y$-Koordinate $y=1$.

Geometrische Bedeutung: Der Punkt $M$ ist der Umkreismittelpunkt des Dreiecks $ABC$.

c) Spiegelung des Eckpunktes und Bestimmung der Vierecksart

Der Eckpunkt, welcher der Hypotenuse gegenüberliegt, ist $B(-3|5|6)$. Für die Spiegelung am Punkt $M$ bestimmen wir zuerst den Verbindungsvektor $\vec{BM}$: $$ \begin{aligned} \vec{BM} &= \vec{OM} - \vec{OB} \\ &= \begin{pmatrix} \frac{5}{2} \\ 1 \\ \frac{5}{2} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \frac{11}{2} \\ -4 \\ -\frac{7}{2} \end{pmatrix} \end{aligned} $$ Nun berechnen wir den Ortsvektor des Spiegelpunktes $D$ über den Ansatz $\vec{OD} = \vec{OB} + 2\cdot\vec{BM}$: $$ \begin{aligned} \vec{OD} &= \begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} \frac{11}{2} \\ -4 \\ -\frac{7}{2} \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 8 \\ -3 \\ -1 \end{pmatrix} \end{aligned} $$ Der Spiegelpunkt lautet somit $D(8|-3|-1)$.

Untersuchung der Vierecksart $ABCD$:

Die Diagonalen $AC$ und $BD$ schneiden und halbieren sich im gemeinsamen Punkt $M$ (durch die Spiegelung bedingt). Ein Viereck mit sich halbierenden Diagonalen ist ein Parallelogramm.
Am Eckpunkt $B$ liegt ein rechter Winkel vor ($\vec{AB} \perp \vec{BC}$). Ein Parallelogramm mit einem rechten Winkel ist ein Rechteck.
Die beiden an $B$ anliegenden Seiten sind gleich lang ($|\vec{AB}| = |\vec{BC}|$). Ein Rechteck mit zwei gleich langen, benachbarten Seiten ist ein Quadrat.

Das Viereck $ABCD$ ist somit ein Quadrat.