Raumdiagonale - Lösung

a) Schnittwinkel der Flächendiagonalen

Wir wählen die Vektoren für zwei Flächendiagonalen, die im Ursprung entspringen und auf den Seitenflächen liegen: $$ \begin{aligned} \vec{u} = \begin{pmatrix} a \\ a \\ 0 \end{pmatrix} \quad \text{und} \quad \vec{v} = \begin{pmatrix} a \\ 0 \\ a \end{pmatrix} \end{aligned} $$

Die Längen der Vektoren betragen jeweils: $$ \begin{aligned} |\vec{u}| = |\vec{v}| = \sqrt{a^2 + a^2 + 0} = a\sqrt{2} \end{aligned} $$

Eingesetzt in die Winkelformel: $$ \begin{aligned} \cos(\beta) = \frac{|a \cdot a + a \cdot 0 + 0 \cdot a|}{a\sqrt{2} \cdot a\sqrt{2}} = \frac{a^2}{2a^2} = 0{,}5 \end{aligned} $$

Daraus ergibt sich der Winkel $\beta = 60^\circ$.

b) Schnittwinkel der Raumdiagonalen

Wir betrachten die Vektoren vom Mittelpunkt des Würfels $M(0{,}5a|0{,}5a|0{,}5a)$ zu zwei benachbarten Ecken auf einer Kante: $$ \begin{aligned} \vec{u} = \begin{pmatrix} 0{,}5a \ 0{,}5a \ 0{,}5a \end{pmatrix} \quad \text{und} \quad \vec{v} = \begin{pmatrix} -0{,}5a \ 0{,}5a \ 0{,}5a \end{pmatrix} \end{aligned} $$

Die Längen der halben Raumdiagonalen betragen jeweils: $$ \begin{aligned} |\vec{u}| = |\vec{v}| = \sqrt{0{,}25a^2 + 0{,}25a^2 + 0{,}25a^2} = \sqrt{0{,}75a^2} = \frac{a\sqrt{3}}{2} \end{aligned} $$

Eingesetzt in die Winkelformel: $$ \begin{aligned} \cos(\alpha) = \frac{|-0{,}25a^2 + 0{,}25a^2 + 0{,}25a^2|}{\frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}} = \frac{0{,}25a^2}{0{,}75a^2} = \frac{1}{3} \end{aligned} $$

Daraus ergibt sich der Winkel $\alpha \approx 70{,}53^\circ$.

c) Geometrischer Vergleich ohne Rechnung

Das Dreieck der Flächendiagonalen: Verbindet man die Endpunkte der beiden betrachteten Flächendiagonalen, entsteht eine dritte Flächendiagonale des Würfels. Das resultierende Dreieck besteht also aus drei identischen Flächendiagonalen (alle haben die Länge $a\sqrt{2}$). Es ist somit gleichseitig, weshalb jeder Innenwinkel – und damit auch der Schnittwinkel – exakt 60° betragen muss.
Das Dreieck der Raumdiagonalen: Zwei halbe Raumdiagonalen bilden zusammen mit einer Würfelkante ein Dreieck. Die Schenkel haben die Länge $s = \frac{a\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}866a$, während die Basis (die Würfelkante) die Länge $a$ besitzt.
Argumentation: Da die Basis $a$ größer ist als die Schenkel ($a > 0{,}866a$), handelt es sich um ein gleichschenkliges Dreieck, bei dem die längste Seite dem gesuchten Schnittwinkel gegenüberliegt. Ein Dreieck mit einer längeren Basis wird im Vergleich zum gleichseitigen Dreieck "breiter aufgespreizt". Daraus folgt zwingend, dass der gegenüberliegende Winkel größer als 60° sein muss ($\alpha > \beta$).