Vektoren mit Parametern - Tipp

Zu Teilaufgabe a)

Stellen Sie die Gleichung $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ auf. Da auf beiden Seiten eine Wurzel steht, können Sie diese direkt quadrieren. Lösen Sie die resultierende quadratische Gleichung nach $t$ auf.

Zu Teilaufgabe b)

Zwei Vektoren sind kollinear, wenn gilt: $\vec{a} = k \cdot \vec{b}$. Dies führt zu einem Gleichungssystem mit drei Zeilen. Prüfen Sie, ob es ein $k$ und ein $t$ gibt, die alle drei Gleichungen gleichzeitig erfüllen. Schauen Sie sich die zweite und dritte Zeile an, um das $k$ zu bestimmen.

Zu Teilaufgabe c)

Komplanar bedeutet, dass der gesuchte Vektor $\vec{v}$ als Linearkombination $\vec{v} = r \cdot \vec{a} + s \cdot \vec{b}$ dargestellt werden kann. Suchen Sie nach Werten für $r$ und $s$, bei denen in der Summe der Parameter $t$ wegfällt.

Noch ein Tipp gefällig?

Multiplizieren Sie $\vec{a}$ mit 2 und addieren Sie $\vec{b}$. Was passiert in der ersten Zeile?

Zu Teilaufgabe d)

Berechnen Sie zuerst den Vektor $\vec{c}$ in Abhängigkeit von $t$: $$ \begin{aligned} \vec{c} = \frac{2}{3} \cdot \begin{pmatrix} t+1 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4-2t \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{aligned} $$
Ein Einheitsvektor hat definitionsgemäß die Länge $1$. Stellen Sie also die Gleichung für den Betrag auf: $|\vec{c}| = 1 \quad \text{bzw.} \quad |\vec{c}|^2 = 1^2$
Quadrieren Sie die Komponenten von $\vec{c}$, addieren Sie diese und lösen Sie die resultierende quadratische Gleichung nach $t$ auf.