Vektoren mit Parametern - Lösung
a) Bestimmen von t für gleiche Beträge
Gleichsetzen der quadrierten Beträge: $$ \begin{aligned} (t+1)^2 + 16 + 4 &= (4-2t)^2 + 4 + 1 \\ t^2 + 2t + 1 + 20 &= 16 - 16t + 4t^2 + 5 \\ 0 &= 3t^2 - 18t \\ 0 &= 3t(t - 6) \end{aligned} $$ Die Lösungen sind \(t_{1} = 0\) und \(t_{2} = 6\).
b) Untersuchung auf Kollinearität
Ansatz: \(\vec{a} = k \cdot \vec{b}\) $$ \begin{aligned} (1) && t+1 &= k \cdot (4-2t) \\ (2) && 4 &= k \cdot (-2) && \implies k = -2 \\ (3) && -2 &= k \cdot 1 && \implies k = -2 \end{aligned} $$ Einsetzen von \(k = -2\) in (1): $$ \begin{aligned} t+1 &= -2 \cdot (4-2t) \\ t+1 &= -8 + 4t \\ 9 &= 3t \\ t &= 3 \end{aligned} $$ Für \(t = 3\) sind die Vektoren kollinear.
c) Ermitteln des t-unabhängigen komplanaren Vektors
Um \(t\) in der ersten Komponente zu eliminieren, wählen wir die Kombination \(2 \cdot \vec{a} + 1 \cdot \vec{b}\): $$ \begin{aligned} \vec{v} &= 2 \cdot \vec{a} + \vec{b} \\ \vec{v} &= 2 \cdot \begin{pmatrix} t+1 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4-2t \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 6 \\ -3 \end{pmatrix} \end{aligned} $$ Da \(\vec{v}\) als Linearkombination von \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) darstellbar ist, ist sind \(\vec{v}\), \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) komplanar. Das Ergebnis ist unabhängig von \(t\).
d) Bestimmung von \(t\) für den Einheitsvektor
1. Berechnung der Linearkombination \(\vec{c}\): $$ \begin{aligned} \vec{c} &= \frac{2}{3} \begin{pmatrix} t+1 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4-2t \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{4}{3}t + \frac{14}{3} \\ \frac{2}{3} \\ -\frac{1}{3} \end{pmatrix} \end{aligned} $$
2. Aufstellen der Betragsgleichung: Ein Einheitsvektor erfüllt \(|\vec{c}|^2 = 1\). $$ \begin{aligned} \left(-\frac{4}{3}t + \frac{14}{3}\right)^2 + \left(\frac{2}{3}\right)^2 + \left(-\frac{1}{3}\right)^2 &= 1 \\ \left(\frac{-4t+14}{3}\right)^2 + \frac{4}{9} + \frac{1}{9} &= 1 \\ \frac{(-4t+14)^2}{9} + \frac{5}{9} &= \frac{9}{9} \quad | \cdot 9 \\ (-4t+14)^2 &= 4 \end{aligned} $$
3. Lösen der Gleichung: Anstatt die Klammer mühsam aufzulösen, ziehen wir direkt die Wurzel (Vorsicht: zwei Fälle!): $$ \begin{aligned} -4t + 14 &= 2 \quad &&\text{oder} \quad -4t + 14 = -2 \\ -4t &= -12 \quad &&\text{oder} \quad -4t = -16 \\ \mathbf{t_1} &= \mathbf{3} \quad \quad &&\text{oder} \quad \mathbf{t_2 = 4} \end{aligned} $$
Ergebnis: Für \(t=3\) oder \(t=4\) ist der Vektor \(\vec{c}\) ein Einheitsvektor.