Fließbandarbeit - Lösung

a) Linearkombination im \(\mathbb{R}^2\)

Ansatz: \(\begin{pmatrix} 0 \\ 5 \end{pmatrix} = r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}\) $$ \begin{aligned} (1) && 0 &= 2r + 4s && \implies r = -2s \\ (2) && 5 &= 3r + s \end{aligned} $$

Einsetzen von (1) in (2): $$ \begin{aligned} 5 &= 3(-2s) + s \\ 5 &= -5s \\ s &= -1 \end{aligned} $$ Daraus folgt \(r = 2\). Lösung: \(\vec{c} = 2\vec{a} - \vec{b}\)

b) Linearkombination im \(\mathbb{R}^3\)

Ansatz: \(\begin{pmatrix} -9 \\ 12 \\ -6 \end{pmatrix} = r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 5 \\ -2 \end{pmatrix}\) liefert folgende Gleichungen: $$ \begin{aligned} (1) && -9 &= 2r - 4s \\ (2) && 12 &= -r + 5s && \implies r = 5s - 12 \\ (3) && -6 &= -2r - 2s \end{aligned} $$

Einsetzen von (2) in (1): $$ \begin{aligned} -9 &= 2(5s - 12) - 4s \\ 15 &= 6s \\ s &= \frac{5}{2} \end{aligned} $$ Daraus folgt \(r = 5(\frac{5}{2}) - 12 = \frac{1}{2}\).

Überprüfung mit (3): $$ \begin{aligned} -6 &= -2\left(\frac{1}{2}\right) - 2\left(\frac{5}{2}\right) \\ -6 &= -6 \quad (\text{wahr}) \end{aligned} $$ Lösung: \(\vec{c} = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{5}{2}\vec{b}\)

c) Untersuchung auf Lösbarkeit

Ansatz: \(\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} = r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\)

Betrachtung der 3. Zeile: $$ \begin{aligned} (3) && 5 &= r \cdot 0 + s \cdot 0 \\ && 5 &= 0 \quad (\text{falsch}) \end{aligned} $$ Da die dritte Gleichung einen Widerspruch liefert, kann \(\vec{c}\) nicht als Linearkombination von \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) dargestellt werden. Der Vektor \(\vec{c}\) liegt nicht in der von \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) aufgespannten Ebene (xy-Ebene).