Lineare Abhängigkeit - Lösung

a) Prüfung über Linearkombination

Ansatz: \(r \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ -3 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 7 \\ -5 \end{pmatrix}\) $$ \begin{aligned} (1) && 3r - 3s &= -4 \\ (2) && -3r + 5s &= 7 \\ (3) && -3r - 3s &= -5 \end{aligned} $$ Addiert man (1) und (2): \(2s = 3 \implies s = 1,5\).
Einsetzen in (1): \(3r - 4,5 = -4 \implies 3r = 0,5 \implies r = \frac{1}{6}\).
Prüfung in (3): \(-3(\frac{1}{6}) - 3(1,5) = -0,5 - 4,5 = -5\).
Das System ist lösbar. Die Vektoren sind linear abhängig.

b) Prüfung über Linearkombination

Ansatz: \(r \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -5 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \\ -2 \end{pmatrix}\) $$ \begin{aligned} (1) && 3r - 5s &= -3 \\ (2) && -2r + s &= -1 \implies s = 2r - 1 \\ (3) && r &= -2 \end{aligned} $$ Einsetzen von \(r = -2\) in (2): \(s = 2(-2) - 1 = -5\).
Prüfung in (1): \(3(-2) - 5(-5) = -6 + 25 = 19 \neq -3\).
Das System liefert einen Widerspruch. Die Vektoren sind linear unabhängig.

c) Prüfung durch "scharfes Auge"

Betrachtet man \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\), erkennt man sofort: $$ \vec{b} = -2 \cdot \vec{a} $$ Da \(\vec{b}\) ein Vielfaches von \(\vec{a}\) ist, sind diese beiden Vektoren kollinear. Damit lässt sich der Nullvektor durch \(2\vec{a} + 1\vec{b} + 0\vec{c} = \vec{0}\) darstellen. Da es eine Linearkombination des Nullvektors gibt, bei der nicht alle Koeffizienten Null sind, sind die Vektoren linear abhängig.