Rettungseinsatz im Gebirge - Lösung

a) Berechnen der Geschwindigkeit

Verschiebungsvektor \(\vec{v}\) pro Minute im Koordinatensystem: $$ \begin{aligned} \vec{v} &= \vec{PQ} \\ \vec{v} &= \begin{pmatrix} 41 - 20 \\ 78 - 50 \\ 8 - 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 21 \\ 28 \\ 0 \end{pmatrix} \end{aligned} $$

Berechnung der Länge im Koordinatensystem (in LE): $$ \begin{aligned} |\vec{v}| &= \sqrt{21^2 + 28^2 + 0^2} = 35 \end{aligned} $$

Umrechnung in km/min (\(1\) LE = \(100\) m = \(0,1\) km): $$ \begin{aligned} v_{min} &= 35 \cdot 0,1= 3,5 \text{ km/min} \end{aligned} $$

Umrechnung in km/h: $$ \begin{aligned} v_{h} &= 3,5 \cdot 60 = 210 \text{ km/h} \end{aligned} $$

Die Geschwindigkeit beträgt \(210\) km/h.

b) Bestimmen der Position nach weiteren 4, also insgesamt 5 Minuten

Wir addieren das Fünffache des Minutenvektors zum Startpunkt \(P\): $$ \begin{aligned} \vec{r}_5 &= \vec{OP} + 5 \cdot \vec{v} \\ \vec{r}_5 &= \begin{pmatrix} 20 \\ 50 \\ 8 \end{pmatrix} + 5 \cdot \begin{pmatrix} 21 \\ 28 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 125 \\ 190 \\ 8 \end{pmatrix} \end{aligned} $$

Der Hubschrauber befindet sich nach 5 Minuten im Punkt \(R(125 \mid 190 \mid 8)\).