Weltwunder - Tipp

Zu Teilaufgabe a)

Wählen Sie den Ursprung \(O(0|0|0)\) im Zentrum der quadratischen Grundfläche. Für die Zeichnung und die Rechnung im Koordinatensystem nutzen wir den Maßstab \(1:20\). Das bedeutet, dass \(1\) Längeneinheit (LE) im System \(20\) Metern in der Realität entspricht (\(1\) LE = \(20\) m). Teilen Sie alle realen Längen (Seitenlänge \(230\) m, Höhe \(140\) m) durch \(20\). Da die Eckpunkte vom Zentrum aus gesehen in beide Richtungen der Achsen verlaufen, müssen Sie die halbe Seitenlänge im Modell (\(115/20\)) verwenden, um die Koordinaten von \(A, B, C\) und \(D\) zu bestimmen.

Zu Teilaufgabe b)

• Kantenlänge: Berechnen Sie die Länge des Verbindungsvektors zwischen einem Eckpunkt und der Spitze im Modell (z. B. \(|\vec{AS}|\)). Um die reale Länge in Metern zu erhalten, multiplizieren Sie das Ergebnis Ihres Betrags wieder mit dem Maßstabsfaktor \(20\).
• Flächeninhalt: Nutzen Sie für das Seitendreieck die klassische Flächenformel \(A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h_{a}\).
  1. Die Grundseite \(g\) im Modell ist die durch 20 geteilte reale Seitenlänge.
  2. Die Höhe des Seitendreiecks \(h_{a}\) im Modell finden Sie, indem Sie den Abstand von der Mitte einer Grundkante (z. B. \(M(5,75|0|0)\)) zur Spitze \(S(0|0|7)\) berechnen.
  3. Multiplizieren Sie die Modellfläche am Ende mit \(20^2\) (\(400\)), um die reale Fläche in m² zu erhalten.

Zu Teilaufgabe c)

Bestimmen Sie zunächst die Modellkoordinaten für den Zielpunkt \(K\) (Königskammer) und den Startpunkt \(L\) (Luftschacht):

• Punkt K: Er liegt senkrecht unter der Spitze (\(x=0, y=0\)) auf einer realen Höhe von \(50\) m. Rechnen Sie diese in die Modellhöhe um.
• Punkt L: Dieser liegt auf halber Pyramidenhöhe. Da die Seitenflächen der Pyramide linear zur Spitze hin zulaufen, halbiert sich auf halber Höhe auch der horizontale Abstand zur Mitte. Wenn die Seitenmitte am Boden bei \(x=5,75\) liegt, liegt sie auf halber Höhe also bei \(x = 5,75 / 2\). Berechnen Sie schließlich die Länge des Verbindungsvektors \(|\vec{LK}|\) im Modell und skalieren Sie diesen Wert mit dem Faktor \(20\) in das Realmaß um.