Weltwunder - Lösung

a) Koordinaten im Maßstab 1:20

Der Maßstab \(1:20\) bedeutet \(1\) LE = \(20\) m. Wir teilen alle Realmaße durch 20. Ursprung \(O(0|0|0)\) ist das Zentrum der Grundfläche. $$ \begin{aligned} &A(5,75|-5,75|0) \\ &B(5,75|5,75|0) \\ &C(-5,75|5,75|0) \\ &D(-5,75|-5,75|0) \\ &S(0|0|7) \end{aligned} $$

b) Kantenlänge und Flächeninhalt

1. Kantenlänge \(AS\): $$ \begin{aligned} |\vec{AS}| &= \sqrt{(-5,75)^2 + 5,75^2 + 7^2} \approx 10,73 \end{aligned} $$

Realmaß: \(10,73 \cdot 20 \approx 214,6\) m.

2. Flächeninhalt einer Seitenfläche: Grundseite im Modell \(g = 11,5\). Die Höhe \(h_{a}\) verläuft von \(M(5,75|0|0)\) zu \(S(0|0|7)\). $$ \begin{aligned} h_{a} &= \sqrt{(-5,75)^2 + 0^2 + 7^2} \approx 9,06 \end{aligned} $$ Die Fläche ist demzufolge: $$ \begin{aligned} A_{Modell} &= \frac{1}{2} \cdot 11,5 \cdot 9,06 \approx 52,10 \end{aligned} $$

Realmaß: \(52,10 \cdot 20^2 \approx 20840\) m².

c) Länge des Luftschachts

Zielpunkt \(K\) (Königskammer) im Modell: \(K(0|0|2,5)\).
Startpunkt \(L\) auf halber Höhe (\(z=3,5\)): \(L(2,875|0|3,5)\). $$ \begin{aligned} |\vec{LK}| &= \sqrt{(-2,875)^2 + 0^2 + (2,5 - 3,5)^2} \approx 3,04 \end{aligned} $$

Realmaß: \(3,04 \cdot 20 \approx 60,8\) m.