Beobachtungsturm - Lösung

a) Nachweis der horizontalen Ausläufe

Zuerst bilden wir die Ableitung: $$ \begin{aligned} h(x) &= -0,05x^3 + 0,3x^2\\ h'(x) &= -0,15x^2 + 0,6x \end{aligned} $$

An der Stelle $x=0$: $$ \begin{aligned} h'(0) = -0,15\cdot0^2 + 0,6\cdot 0 = 0. \end{aligned} $$
An der Stelle $x=4$: $$ \begin{aligned} h'(4) &= -0,15\cdot 4^2 + 0,6\cdot 4\\ &= -2,4 + 2,4 = 0. \end{aligned} $$

An beiden Stellen ist der Anstieg der Tangente Null, der Hang läuft also horizontal aus.

b) Berechnung des Aussichtspunktes und der Turmhöhe

1. Berührstelle $u$ der Sichtlinie finden:

Die Sichtlinie ist eine Ursprungsgerade ($c=0$), daher gilt die Bedingung $h'(u) = \frac{h(u)}{u}$: $$ \begin{aligned} -0,15u^2 + 0,6u &= \frac{-0,05u^3 + 0,3u^2}{u} \\ -0,15u^2 + 0,6u &= -0,05u^2 + 0,3u \\ 0,1u^2 - 0,3u &= 0 \\ 0,1u(u - 3) &= 0 \end{aligned} $$ Die Lösung $u=3$ liefert die Stelle, an der der Blick den Hügel streift.

2. Steigung der Sichtlinie:

$$ \begin{aligned} m &= h'(3) = -0,15\cdot 3^2 + 0,6 \cdot 3\\ &= 0,45 \end{aligned} $$ Die Gleichung der Sichtlinie lautet somit $t(x) = 0,45x$.

3. Koordinaten des Aussichtspunktes $B$ an der Stelle $x=4$

$y_B = t(4) = 0,45 \cdot 4 = 1,8$.
Der Aussichtspunkt hat die Koordinaten $B(4 | 1,8)$.

4. Turmhöhe berechnen:

Geländehöhe am Punkt $x=4$: $$ \begin{aligned} h(4) &= -0,05\cdot 4^3 + 0,3\cdot 4^2 \\ &= 1,6 \end{aligned} $$

Die Differenz beträgt: $1,8 - 1,6 = 0,2$ Längeneinheiten.
Da $1\,\text{LE} = 100\,\text{m}$ entspricht, ergibt sich: $0,2 \cdot 100\,\text{m} = 20\,\text{m}$.

Ergebnis: Der Aussichtspunkt liegt bei $B(4 | 1,8)$. Der Turm muss eine Höhe von 20 Metern haben.