Lösung: Optimimaler Ticketpreis
1. Aufstellen der Nachfragefunktion \(n(p)\)
Die Nachfrage verhält sich linear zum Preis \(p\). Da pro Euro Preiserhöhung \(20\) Besucher weniger kommen, beträgt die Steigung \(m = -20\). Mit dem Startpunkt (\(500\) Besucher bei \(20\,\text{€}\)) bestimmen wir den Y-Achsenabschnitt \(b\): $$ \begin{aligned} n(p) &= -20 \cdot p + b\\ 500 &= -20 \cdot 20 + b\\ 500 &= -400 + b \implies b = 900 \end{aligned} $$
Die Nachfragefunktion lautet somit: $$ \begin{aligned} n(p) = 900 - 20p \end{aligned} $$
2. Aufstellen der Gewinnfunktion \(G(p)\)
Der Gewinn ergibt sich aus dem Produkt von Ticketpreis und Besucheranzahl: $$ \begin{aligned} G(p) &= p \cdot n(p) = p \cdot (900 - 20p)\\ G(p) &= -20p^2 + 900p \end{aligned} $$
3. Extremwertberechnung
Um das Gewinnmaximum zu ermitteln, bilden wir die Ableitungen nach \(p\): $$ \begin{aligned} G'(p) &= -40p + 900\\ G''(p) &= -40 \end{aligned} $$
Notwendige Bedingung \(G'(p) = 0\) setzen: $$ \begin{aligned} -40p + 900 &= 0\\ p &= \frac{900}{40} = \mathbf{22,50} \end{aligned} $$
Hinreichende Bedingung prüfen: $$ \begin{aligned} G''(22,50) = -40 < 0 \implies \text{lokales Maximum} \end{aligned} $$
4. Berechnung des maximalen Gewinns
Setze den optimalen Preis \(p = 22,50\,\text{€}\) in die Gewinnfunktion ein: $$ \begin{aligned} G(22,50) &= -20 \cdot (22,50)^2 + 900 \cdot 22,50\\ &= \mathbf{10125} \end{aligned} $$
5. Ergebnis
- Der optimale Ticketpreis liegt bei \(22,50\,\text{€}\).
- Bei diesem Preis kommen noch \(n(22,50) = 900 - 20 \cdot 22,50 = 450\) Besucher.
- Der maximal erzielbare Gewinn beträgt \(10.125\,\text{€}\).